Der Zn-Test betrachtet einen Block aus n Ziffern im Zahlensystem zur Basis n. Er fragt: Wie viele Ziffern teilen sich im Block den ersten Platz? Wir nehmen einen zehnstelligen Block und zählen, wie oft jede der zehn Ziffern vorkommt. Der Block lautet 3141592653. Zähle zunächst jede Ziffer von 0 bis 9. Im Beispiel: 1, 3 und 5 kommen jeweils zweimal vor – öfter als jede andere Ziffer. Also gilt Z10 = 3. Die maximale Häufigkeit ist 2; der Testwert ist 3. Für einen gleichverteilten i.i.d.-Block der Länge n über n Ziffern sei cj die Anzahl der Ziffern, die genau j-mal vorkommen. Hat die größte Häufigkeit den Wert r, dann ist cr = k genau das Ereignis Zn = k. Der erste Bruch zählt, auf welche Ziffern die Häufigkeiten 0, 1, …, r entfallen. Der zweite Bruch zählt die Anordnungen der Ziffern im Block. Durch nⁿ wird durch alle möglichen i.i.d.-Blöcke geteilt. Diese drei Balkendiagramme zeigen die exakte i.i.d.-Sollverteilung. Die kleineren Buckel entstehen, weil unterschiedliche maximale Häufigkeiten r verschiedene Bereiche von Zn prägen. Neben dem Hauptbuckel bei Z10 = 1 liegt ein lokaler Buckel bei Z10 = 3. Ein sekundärer Buckel erscheint etwa bei Z32 = 9. Ein weiterer Buckel erscheint etwa bei Z64 = 19. Seltene Randwerte liegen viele Größenordnungen tiefer. Beide Achsen sind logarithmisch. Die Balken zeigen die exakten Wahrscheinlichkeiten; unmögliche Zn-Werte haben Wahrscheinlichkeit 0 und erscheinen nicht als Balken. Die Sollverteilung bleibt gleich. Wähle eine Basis und eine Ziffernfolge; rechts erscheint das vorab berechnete Ist-Histogramm.Was misst der Zn-Test?
Ein Beispiel im Zehnersystem
So entsteht Z10
Die vier Schritte
Mögliche Missverständnisse
Im Beispiel ist die maximale Häufigkeit 2, aber Z10 = 3, weil drei Ziffern gleichauf liegen.
Jede Umordnung derselben zehn Ziffern hat denselben Z10-Wert. Der Test beschreibt die Belegung, nicht die Reihenfolge.
Ein i.i.d.-ähnliches Zn-Histogramm ist mit i.i.d.-Struktur vereinbar, beweist aber weder Unabhängigkeit noch Normalität.
Dein Paper zeigt als Warnbeispiel die normale Champernowne-Konkatenation, deren endliche Zn-Statistik deutlich vom i.i.d.-Soll abweichen kann.Die Gesamtformel für den i.i.d.-Sollwert
Die Sollverteilung hat Buckel
Zehnersystem: n = 10
32er-System: n = 32
64er-System: n = 64
Jetzt den Test selbst ausprobieren
Links: i.i.d.-Sollwerte
Rechts: gemessene Ist-Werte
Zn Tests
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Schritt 1 von 4: Der zehnstellige Block wird gelesen.
Zn ist nicht die maximale Häufigkeit.
Die Reihenfolge im Block wird ignoriert.
Ein Treffer ist kein Normalitätsbeweis.
Ein Abweichen beweist auch keine Nichtnormalität.
P(Zn = k) = n−n · ∑r=1n ∑profiles n!∏j=0r cj! · n!∏j=0r (j!)cj
∑j=0r cj = n; ∑j=0r j cj = n; cr = k.
Der Schlüssel passt