Eine exakte Formel für die Fibonacci-Windungszahl bei Zweierpotenzen
Die Fibonacci-Folge gehört zu den bekanntesten Zahlenfolgen der Mathematik. Weniger bekannt ist, dass sich bei der Betrachtung ihrer Reste bei Division durch natürliche Zahlen interessante periodische Strukturen ergeben. Eine damit verbundene mathematische Größe ist die sogenannte Fibonacci-Windungszahl (Fibonacci winding number).
In dieser Arbeit wird bewiesen, dass sich die Fibonacci-Windungszahl für sämtliche Zweierpotenzen ab 32 durch eine überraschend einfache Formel bestimmen lässt: Sie entspricht stets der Hälfte der jeweiligen Pisano-Periodenlänge, vermindert um genau fünf.
Diese konstante Abweichung von fünf bleibt unabhängig davon bestehen, wie groß die betrachtete Zweierpotenz wird.
Die Fibonacci-Windungszahl lässt sich auch über die Anzahl der Überträge (Carries) bei der Addition aufeinanderfolgender Fibonacci-Reste verstehen. Der neue Satz besagt somit, dass während einer vollständigen Periode stets genau fünf Überträge weniger auftreten, als es der Hälfte der Periodenlänge entspricht.
Der Beweis beruht auf der rekursiven Struktur der Fibonacci-Folge, den Teilbarkeitseigenschaften der Lucas-Zahlen und besonderen Symmetrien innerhalb der Perioden. Insbesondere ermöglichen Halb- und Viertelperiodenverschiebungen eine allgemeine Herleitung, die über die bloße numerische Überprüfung einzelner Fälle hinausgeht.
Die Arbeit enthält außerdem weitere exakte Ergebnisse über Mittelwerte von Fibonacci-Resten, Ziffernmittelwerte und die Balance bestimmter Binärziffern. Ein vollständiges Python-Prüfprogramm im Anhang erlaubt es, die verwendeten endlichen Berechnungen unabhängig nachzuvollziehen.
Die Fibonacci-Windungszahl selbst ist bereits aus der mathematischen Literatur bekannt. Der Beitrag dieser Arbeit liegt in der geschlossenen Formel für Zweierpotenzen und ihrem rekursiv-symmetrischen Beweis.
Die Untersuchung zeigt damit, wie aus einer zunächst numerisch beobachteten Gesetzmäßigkeit ein allgemeiner zahlentheoretischer Satz gewonnen werden kann.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). A Closed Formula for Fibonacci Winding Numbers at Powers of Two. Zenodo.