Wahrscheinlichkeit 0, nicht unmöglich

1. Das Münzbeispiel: unendlich oft werfen

Wir werfen eine faire Münze unendlich oft. Die Folge „immer Zahl“ ist als unendliche Folge widerspruchsfrei denkbar. Für die ersten n Würfe beträgt die Chance, nur Zahl zu erhalten, genau 1 zu 2ⁿ. Für die unendliche Folge ergibt sich der Grenzwert:

P(immer Zahl) = lim_n→∞ (1/2)ⁿ = 0

Bei jeder endlichen Zahl von Würfen ist „nur Zahl“ noch ein Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit. Erst für die unendliche Folge ist die Wahrscheinlichkeit exakt null. Die Rechnung behauptet nicht, dass die Folge logisch unmöglich wäre.

2. Die Socken: ein einziger dauerhafter Endzustand

Im betrachteten Modell gibt es 20 ursprüngliche Sockenpaare. Jede Woche prüft eine neue Wäscherin oder ein neuer Wäscher zufällig fünf der 20 Paare. Sind darunter mindestens drei richtige Originalpaare, werden alle Socken richtig sortiert. Andernfalls werden sieben Paare gewaschen; ihre 14 Socken werden zufällig neu gepaart, während die übrigen 13 Paare unverändert bleiben.

Auch aus jedem Zustand unter 100 % besteht eine positive Chance, 100 % zu erreichen. Sind weniger als drei Paare richtig, kann die Auswahl der sieben Waschpaare die sechs Socken dreier ursprünglicher Paare umfassen: Diese sechs Socken liegen dann in höchstens sechs aktuellen Paaren, die mit positiver Wahrscheinlichkeit alle zum Waschen ausgewählt werden. Wenn alle sechs in der Wäsche sind, beträgt die Chance, dass sie beim zufälligen Neu-Paaren genau ihre drei Originalpaare bilden, 7!!/13!! = 1/(13·11·9) = 1/1.287. In der folgenden Woche enthält eine zufällige Fünfer-Stichprobe alle drei Paare mit Chance C(17,2)/C(20,5) = 136/15.504 ≈ 0,877 %. Dann wird vollständig sortiert. Das ist ein konkreter Weg mit positiver Wahrscheinlichkeit, keine typische Wartezeit.

Dennoch gibt es theoretisch unendliche Zufallsverläufe, die 100 % immer wieder verfehlen. Sie sind als mögliche Verläufe denkbar, aber die Gesamtheit aller solchen Verläufe hat Wahrscheinlichkeit exakt null. 0 %, 5 % oder 50 % sind daher keine weiteren dauerhaften Senken: Sie können lange bestehen, sind aber Durchgangszustände.

Präzise Formulierung: Mit Wahrscheinlichkeit 1 wird irgendwann 100 % erreicht. Das ist keine Aussage, dass jeder denkbare Verlauf 100 % erreicht. „Fast sicher“ bedeutet Wahrscheinlichkeit 1; es schließt Ausnahmen der Wahrscheinlichkeit 0 nicht begrifflich aus.

3. Eine solche Ausnahme lässt sich konkret beschreiben

Bezeichnen wir die Socken des ursprünglichen Paars i mit L_i und R_i. Betrachten wir die falsche Paarung P_i = {L_i, R_i+1}, zyklisch mit R₂₁ = R₁. Kein Paar ist richtig. Jede Woche werden dieselben sieben Paarplätze gewaschen und die 14 Socken zufällig genau wieder so gepaart wie zuvor. Die Prüfung kann nie Sortieren auslösen, weil sie ausschließlich falsche Paare sieht. So bleibt der Schrank für alle Zeiten bei genau dieser falschen Anordnung.

Sei q die Wahrscheinlichkeit, in einer Woche genau in dieser Anordnung zu bleiben. Dann gilt 0 < q < 1: Das Zurückfinden in dieselbe Anordnung ist möglich, aber auch andere Paarungen sind möglich. Die Wahrscheinlichkeit, in allen ersten n Wochen in ihr zu bleiben, ist qⁿ. Daher:

P(diese Trajektorie für immer) = lim_n→∞ qⁿ = 0.

Das ist eine einzelne, formal beschriebene Ausnahme. Die Aussage, dass alle Trajektorien, die 100 % verfehlen, zusammen Wahrscheinlichkeit null haben, ist stärker: Sie folgt aus der endlichen Zahl von Sockenkonfigurationen und der positiven Chance, aus jeder Konfiguration innerhalb höchstens zweier Wochen 100 % zu erreichen.

4. Was heißt hier „möglich“?

Im mathematischen Modell heißt „möglich“ zunächst: Die Regeln schließen den Verlauf nicht aus; jeder endliche Abschnitt kann mit positiver Wahrscheinlichkeit eintreten. „Wahrscheinlichkeit null“ sagt dagegen, welches Gewicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ganzen unendlichen Folge gibt. Diese beiden Aussagen widersprechen einander nicht.

Die Rechnung entscheidet damit eine mathematische Frage innerhalb des Modells. Ob ein solcher Verlauf auch im metaphysischen oder physikalischen Sinn möglich ist, folgt daraus allein nicht. Dafür müsste man zusätzlich klären, was „Möglichkeit“ außerhalb des Modells bedeuten soll.