Gedankenexperiment mit Satelliten


      
        INTERAKTIVES GEDANKENEXPERIMENT
        Drei Satelliten und die Energiebilanz
        Wir klären zuerst die Ausgangslage. Danach führen „Weiter!“-Schritte durch die Varianten, die Bahnen und die Energiefrage.
      
      
Schritt 1 von 6

      
        01Zuerst die Ausgangslage
Was genau halten wir fest?
        
          Es gibt drei identische Satelliten, jeder mit einer Masse von 1.000 kg. Sie befinden sich auf einer Höhe von rund 17.893 km über der Erdoberfläche – das ist die halbe GEO-Höhe.
Auf dieser Höhe kreisen sie nicht von selbst über demselben Erdpunkt. Deshalb hält jedes Satellitentriebwerk seinen Satelliten dort mit einem konstanten Schub von rund 547,58 N nach außen; das Abgas stößt nach unten aus.
Satellit A wird nicht getroffen. Satellit B wird von einem Asteroiden radial nach außen getroffen, Satellit C von einem gleichen Asteroiden radial nach innen. Nach dem Stoß bleibt jeder Asteroid am Satelliten hängen.
          Alle drei starten auf gleicher Höhe und mit derselben tangentialen Bewegung um die Erde.
        
        Wichtige Unterscheidung: „Von unten“ und „von oben“ beschreiben hier die radiale Bewegungsrichtung des Asteroiden – von der Erde weg beziehungsweise zur Erde hin.
        
      

      
        02Zwei Denkvarianten
Gleiche Masse, andere Geschwindigkeit
        Zuerst eine kleine Relativgeschwindigkeit: Der nach außen angestoßene Satellit kehrt um. Danach erhöhen wir die Geschwindigkeit so weit, dass die beiden Einschlagrichtungen unterschiedliche Folgen haben können.
        
        Wir beginnen bewusst mit der kleinen Geschwindigkeit. Die zweite Möglichkeit erscheint erst, nachdem wir die Umkehr beobachtet haben.
        Asteroidenmasse 50 kgEin gleicher Asteroid trifft B und C.Radiale Relativgeschwindigkeit 10 m/sDie tangentiale Geschwindigkeit des Asteroiden entspricht beim Treffpunkt zunächst der des Satelliten.
        Nach dem Stoß: Die Asteroiden bleiben haften. Der Triebwerksschub bleibt bei 547,58 N, obwohl B′ und C′ nun schwerer sind.
        
      

      
        03Erste Beobachtung: Was geschieht?
Status wird berechnet
        AUngetroffen
B′Stoß von unten · nach außen
C′Stoß von oben · nach innen

        Höhe über der Erdoberflächenach dem Aufprall
A, ungetroffenB′, von untenC′, von oben
        
      

      
        04Zweite Beobachtung: Energie im Verlauf
Kinetisch + gravitative potentielle Energie
        Mechanische Gesamtenergiein Milliarden Joule (GJ)
A bleibt konstant. Die mechanische Energie von B′ und C′ ändert sich durch die Arbeit des Schubs.
        Zeit Körper Höhe Kinetisch (GJ) Potentiell (GJ) Mechanisch gesamt (GJ)

        Asteroiden werden nach dem Zusammenkleben nicht mehr als eigene Körper gezählt. Nach einem Erdaufprall endet die Rechnung für den Satelliten als eigenständigen Körper.
        
      

      
        05Denkfrage: Kann das Triebwerk kompensieren?
Erst überlegen, dann weiterlesen
        
          Im Vergleich der Satelliten steigt oder sinkt ihre mechanische Energie (kinetisch + potentiell). Kann der Triebwerksschub diese Änderung erklären, obwohl A, B′ und C′ denselben Schub haben?
          
            
            
            
          
          
        
        
      

      
        06Die scheinbare Energie-Paradoxie
Was genau bleibt konstant?
        
        Der Schluss
Die mechanische Energie der einzelnen Satelliten bleibt nicht allgemein konstant. Konstant bleibt die Gesamtbilanz nur, wenn wir alle beteiligten Teile mitzählen: Erde, Asteroiden, Stoßwärme und die Energiequelle beziehungsweise den Energiespeicher des Triebwerks. Die „paradoxe“ Energieänderung entsteht, weil wir zunächst nur auf einen Teil des Systems schauen.
Bei der Umkehrvariante stürzen beide getroffenen Satelliten schließlich ab. In der Hochgeschwindigkeitsvariante bleibt A, C′ fällt zur Erde und B′ entkommt bei weiterlaufendem Schub.
        Rechenmodell und Grenzen
Die Höhe beträgt 17.893 km über der Erdoberfläche, der Abstand vom Erdmittelpunkt rund 24.271 km. Alle drei Satelliten haben anfangs 1.000 kg. Der nach außen gerichtete Halteschub beträgt exakt rund 547,58 N. Die Bewegung nach einem Stoß wird aus Erdgravitation, Drehimpuls und konstantem radialem Schub berechnet.
Die Asteroiden werden am Treffpunkt mit derselben tangentialen Geschwindigkeit wie der Satellit angesetzt und unterscheiden sich durch ihre radiale Relativgeschwindigkeit. Die Stöße sind vollkommen unelastisch. „Entkommen“ heißt: bei weiterlaufendem Schub überwindet der Satellit die Rückkehrbarriere. Das heißt nicht automatisch, dass er nach dem Abschalten des Triebwerks schon ungebunden wäre.
Das Triebwerk ist idealisiert: Es verliert keine Masse. Für die Lehrbilanz wird eine reversible Energiereserve als Gegenkonto der Schubarbeit verwendet. Das ist keine realistische Beschreibung eines Raketenmotors. Nach einem Erdaufprall geht Energie in Erde und Aufprallprodukte über; die Satellitenrechnung endet dort.
        
      
      Lehr-App zum Gedankenexperiment „Drei Satelliten und die Energiebilanz“