Ein mathematisches Märchen von der Wahrheit und ihrer Beweisbarkeit
Es war einmal, vor langer Zeit, ein Königreich, in dessen Mitte ein hoher Turm stand. Er war so hoch, dass seine Spitze selbst an klaren Tagen in den Wolken verschwand.
In diesem Turm wohnte ein Gelehrter, der schon als junger Mann den Auftrag erhalten hatte, alle Beweise der Welt zu prüfen. Nicht die Beweise dafür, dass die Sonne aufgeht oder der Regen fällt. Nein, er prüfte die Beweise eines großen Buches, das die Weisen des Reiches vor langer Zeit geschrieben hatten.
Das Buch hieß ZFC.
Es enthielt die Grundregeln, nach denen die Gelehrten ihre mathematischen Wahrheiten herleiteten. Man sagte, es sei so mächtig, dass beinahe die ganze Mathematik darin Platz finde.
Der König hatte dem Gelehrten einen einzigen Auftrag gegeben:
„Suche, ob sich aus diesem Buch ein Widerspruch beweisen lässt. Prüfe alles, was sich nach seinen Regeln beweisen lässt, einen Beweis nach dem anderen. Und solltest du jemals einen Widerspruch finden, so lass es unverzüglich verkünden.“
Der Gelehrte nahm seine Aufgabe ernst.
Er begann mit dem ersten möglichen Beweis, dann prüfte er den zweiten und den dritten. Er untersuchte Tausende, Millionen und schließlich Milliarden von Zeichenfolgen. Manche waren Unsinn. Manche waren richtige Beweise schöner Sätze. Manche waren so lang, dass er Jahre brauchte, um sie zu prüfen.
Doch einen Widerspruch fand er nicht.
Am Fuße des Turmes, in einer kleinen Hütte, wohnte eine alte Frau.
Sie besaß nicht viel. Einen Tisch, einen Stuhl, ein schmales Bett und eine Petroleumlampe, die auf dem Fensterbrett stand.
Als sie noch ein junges Mädchen gewesen war, hatte ihr Vater die Lampe geschenkt und gesagt:
„Solange der Gelehrte keinen Widerspruch findet, soll diese Lampe brennen.“
Das Mädchen hatte gefragt: „Und wenn er niemals einen findet?“
„Dann“, hatte der Vater geantwortet, „soll sie niemals erlöschen.“
Seit jenem Tag ging die Frau jeden Morgen zum Turm.
Sie klopfte dreimal an die schwere Eichentür, und wenn der Gelehrte öffnete, stellte sie stets dieselbe Frage:
„Habt Ihr heute den Widerspruch gefunden?“
Und der Gelehrte antwortete:
„Nein, gute Frau. Noch habe ich keinen gefunden.“
Dann verneigte sie sich, ging nach Hause und füllte Petroleum in ihre Lampe.
So vergingen die Jahre.
Die Frau wurde alt. Ihr Haar wurde weiß, ihre Hände begannen zu zittern, und der Weg zum Turm fiel ihr immer schwerer.
Doch jeden Morgen stieg sie die steinernen Stufen hinauf.
„Habt Ihr heute den Widerspruch gefunden?“
„Nein, gute Frau. Noch nicht.“
Und jeden Abend brannte die Lampe.
Eines Tages fragte die Greisin:
„Herr Gelehrter, Ihr sucht nun schon so lange. Könnt Ihr mir nicht endlich sagen, dass Ihr niemals einen Widerspruch finden werdet?“
Der Gelehrte legte seine Feder nieder.
„Das kann ich nicht“, sagte er.
„Warum nicht? Ihr habt doch so viele Beweise geprüft!“
„Gewiss. Aber morgen gibt es andere zu prüfen. Und übermorgen wieder andere. Es sind unendlich viele mögliche Beweise.“
Die Greisin dachte nach.
„Dann prüft doch alle.“
Der Gelehrte lächelte traurig.
„Dazu müsste ich meine Arbeit beenden können. Aber die unendliche Prüfung hat keinen letzten Tag.“
„Und könnt Ihr nicht wenigstens beweisen, dass Euer Buch niemals einen Widerspruch hervorbringen wird?“
Da wurde der Gelehrte sehr ernst.
„Das ist das Seltsame“, sagte er. „Wenn unser Buch widerspruchsfrei ist, dann kann ich gerade mit seinen eigenen Regeln nicht beweisen, dass es widerspruchsfrei ist.“
„Dann ist das Buch vielleicht falsch?“
„Das folgt daraus nicht.“
„Dann ist es vielleicht richtig?“
„Auch das habe ich damit nicht bewiesen.“
Die Greisin schwieg.
Schließlich sagte sie:
„Aber meine Lampe brennt.“
„Ja“, sagte der Gelehrte.
„Und sie hat gestern gebrannt.“
„Ja.“
„Und vorgestern.“
„Auch das.“
„Und alle Tage meines Lebens.“
„Gewiss.“
Da fragte die Greisin:
„Was fehlt Euch denn noch?“
„Der Beweis“, sagte der Gelehrte, „dass sie niemals erlöschen wird.“
Am nächsten Morgen fand die Greisin den Gelehrten nicht allein.
Ein zweiter Gelehrter war gekommen, ein Mann in einem blauen Mantel, der ein noch dickeres Buch unter dem Arm trug.
„Ich habe gehört“, sagte der Fremde, „dass Ihr die Widerspruchsfreiheit Eures Buches nicht beweisen könnt.“
„So ist es.“
„Dann habe ich eine Lösung. Ich nehme Euer Buch und füge einen neuen Satz hinzu: Dieses Buch ist widerspruchsfrei.“
Die Greisin klatschte in die Hände.
„Dann ist ja alles gut!“
Der fremde Gelehrte verneigte sich.
„In meinem neuen Buch lässt sich nun beweisen, dass Eure Lampe niemals wegen eines Widerspruchs im alten Buch erlöschen muss.“
„Wunderbar“, sagte die Greisin. „Und könnt Ihr auch beweisen, dass Euer neues Buch widerspruchsfrei ist?“
Der Fremde erstarrte.
„Nun“, sagte er langsam, „das ist eine andere Frage.“
„Warum?“
„Weil mein neues Buch ebenfalls ein Axiomensystem ist.“
„Und?“
„Wenn es widerspruchsfrei ist, kann es seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen.“
Die Greisin sah die beiden Männer an.
„Dann braucht Ihr ein drittes Buch.“
„Ja“, sagte der Fremde.
„Und danach ein viertes?“
„Möglicherweise.“
„Und ein fünftes?“
Der Gelehrte nickte.
„Und wann seid Ihr fertig?“
Keiner antwortete.
Am folgenden Tag stand neben dem Turm ein Baugerüst.
Die beiden Gelehrten hatten beschlossen, einen zweiten Turm auf den ersten zu setzen. Dort wollten sie die Widerspruchsfreiheit des neuen Buches untersuchen.
Doch kaum war dieser Turm vollendet, mussten sie einen dritten errichten.
Dann einen vierten.
Und einen fünften.
Die Türme wuchsen über die Wolken hinaus. Von unten sah man die Gelehrten wie kleine schwarze Punkte auf ihren Treppen auf- und absteigen.
Auf jedem neuen Turm hing ein Schild:
Hier wird die Widerspruchsfreiheit des vorherigen Turmes angenommen.
Und darunter stand in kleinerer Schrift:
Die Widerspruchsfreiheit dieses Turmes ist damit noch nicht bewiesen.
Die Greisin betrachtete das Bauwerk lange.
Dann ging sie nach Hause und füllte Petroleum in ihre Lampe.
Viele Jahre später, als die Greisin so alt geworden war, dass niemand im Dorf mehr wusste, wie viele Winter sie erlebt hatte, kam eines Abends der erste Gelehrte zu ihrer Hütte.
Er setzte sich an ihren Tisch.
„Gute Frau“, sagte er, „ich muss Euch etwas gestehen.“
„Habt Ihr den Widerspruch gefunden?“
„Nein.“
„Warum seid Ihr dann gekommen?“
Der Gelehrte betrachtete die Lampe.
„Ich habe mein Leben damit verbracht, nach einem Widerspruch zu suchen. Ich habe viele richtige Beweise gefunden und viele falsche verworfen. Ich habe gelernt, welche Sätze mein Buch beweisen kann und welche nicht.“
Er hielt inne.
„Aber ich weiß noch immer nicht aus meinem Buch heraus zu beweisen, dass Eure Lampe niemals erlöschen wird.“
Die Greisin nahm die Petroleumkanne.
„Und wenn Ihr morgen wieder keinen Widerspruch findet?“
„Dann bleibt sie an.“
„Und übermorgen?“
„Ebenso.“
„Und wenn Ihr niemals einen findet?“
„Dann bleibt sie für immer an.“
„Aber das könnt Ihr nicht beweisen?“
„Nicht mit den Regeln meines Buches, sofern es widerspruchsfrei ist.“
Die Greisin sah ihn lange an.
Dann sagte sie:
„Vielleicht habt Ihr Euer Leben lang etwas anderes gesucht als ich.“
„Was meint Ihr?“
„Ihr habt einen Beweis gesucht, dass die Lampe niemals erlöschen wird. Ich habe dafür gesorgt, dass sie heute brennt.“
Der Gelehrte senkte den Kopf.
„Aber Ihr wisst deshalb nicht, ob sie morgen noch brennen wird.“
„Nein“, sagte die Greisin. „Das weiß ich nicht.“
„Und trotzdem füllt Ihr sie jeden Abend.“
„Ja.“
„Warum?“
Die Greisin betrachtete die kleine Flamme.
„Weil ich einen Grund brauche, um das Petroleum nicht mehr einzufüllen. Und bisher habt Ihr mir keinen gebracht.“
In jener Nacht träumte der Gelehrte von einem unendlich hohen Turm.
Auf jeder Stufe lag ein Buch. Und jedes Buch enthielt einen Beweis, dass das vorherige Buch keinen Widerspruch enthielt.
Doch sooft der Gelehrte eine Stufe erklommen hatte, sah er über sich eine weitere.
Er stieg und stieg, bis er nicht mehr wusste, ob er sich dem Himmel näherte oder nur immer weiter vom Boden entfernte.
Schließlich rief er:
„Wo ist die letzte Stufe?“
Aus der Höhe antwortete eine Stimme:
„Auf keiner endlichen Stufe.“
„Und wo liegt dann die Wahrheit?“
Doch darauf antwortete niemand.
Am nächsten Morgen ging der Gelehrte zur Hütte.
Die Greisin saß am Fenster. Neben ihr stand die Petroleumkanne.
„Gute Frau“, fragte er, „warum glaubt Ihr eigentlich, dass unser Buch widerspruchsfrei ist?“
„Ich weiß nicht, ob ich das glaube“, sagte sie.
„Aber Ihr handelt danach.“
„Ja.“
„Und was gibt Euch das Recht dazu?“
Die Greisin schwieg lange.
Dann antwortete sie:
„Vielleicht habe ich gute Gründe. Vielleicht habe ich nur Vertrauen. Vielleicht weiß ich nicht einmal genau, wo das eine endet und das andere beginnt.“
Sie zeigte auf die Lampe.
„Aber sagt mir, Herr Gelehrter: Wenn meine Lampe niemals erlöschen wird und Ihr das niemals beweisen könnt – was macht es dann wahr, dass sie niemals erlöschen wird?“
Der Gelehrte öffnete den Mund.
Dann schloss er ihn wieder.
Zum ersten Mal in seinem Leben griff er nicht nach einem Buch.
Und die Greisin fragte leise:
„Was konstituiert Wahrheit, wenn sie nicht konstatiert werden kann?“
Draußen begann es zu dämmern.
Die Lampe brannte.