Eine mathematische Untersuchung mit neuen Beweisen und einer überraschenden Korrektur
Wenn man einen gewöhnlichen Zauberwürfel von einer Ecke aus fotografiert, sieht man drei seiner sechs Seiten. Kann man daraus erschließen, wie die drei verborgenen Seiten aussehen?
In meiner korrigierten und erweiterten Arbeit How Much of a Rubik’s Cube Does a Three-Face Photograph Determine? untersuche ich diese Frage mithilfe kombinatorischer Beweise, einer eindeutigen numerischen Codierung aller Würfelstellungen und computergestützter Überprüfungen.
Ein erstes bemerkenswertes Ergebnis: Selbst wenn die drei sichtbaren Seiten vollständig einfarbig sind und wie bei einem gelösten Würfel aussehen, gibt es genau 96 verschiedene, durch legale Drehungen erreichbare Würfelstellungen, die mit diesem Anblick übereinstimmen.
Die neue Fassung beantwortet darüber hinaus eine zuvor offengelassene Frage:
Vier vollständig bekannte Seiten reichen niemals aus, um die gesamte Würfelstellung eindeutig zu bestimmen. Dies wird durch zwei deduktive Beweise gezeigt, die sowohl benachbarte als auch gegenüberliegende verborgene Seiten behandeln.
Noch überraschender ist, dass selbst fünf vollständig bekannte Seiten nicht immer genügen. Die Arbeit enthält zwei unterschiedliche, legal erreichbare Würfelstellungen, die auf fünf Seiten vollkommen gleich aussehen und sich nur auf der sechsten Seite unterscheiden.
Damit steht fest: Erst die Kenntnis aller sechs Seiten garantiert für jede mögliche Würfelstellung eine eindeutige Rekonstruktion. Für einzelne Stellungen können dagegen weniger Beobachtungen genügen.
Die Arbeit entwickelt außerdem eine eindeutige Identifikationsnummer für jede vollständige Farbbelegung des Würfels. Dazu werden die 48 beweglichen Farbfelder in einer festgelegten Reihenfolge nummeriert und als Ziffern einer Zahl im Sechsersystem dargestellt.
Hinweis zur korrigierten Veröffentlichung: Die Erstfassung enthielt die unzutreffende Behauptung, fünf vollständig bekannte Seiten würden immer ausreichen. Diese Aussage wurde ausdrücklich zurückgenommen und durch ein überprüfbares Gegenbeispiel widerlegt. Die korrigierte und erweiterte Fassung enthält außerdem die neuen Beweise zur Unzulänglichkeit von vier bekannten Seiten. Die weiterhin gültigen Ergebnisse der Erstfassung bleiben erhalten.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). How Much of a Rubik’s Cube Does a Three-Face Photograph Determine? (Corrected and expanded version 2). Zenodo.
https://doi.org/10.5281/zenodo.23846140
Demos: