Uniform Block Counting for Champernowne Concatenations
A Proof Audit and a Carry-Safe Reconstruction of the Discrepancy Argument
Preprint, 2026
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Carry-sichere Rekonstruktion des Champernowne-Beweises
Normalität und Diskrepanz von Champernowne-Konkatenationen
Diese wissenschaftliche Arbeit untersucht die klassischen und neueren Beweise zur Normalität und Diskrepanz der Champernowne-Konkatenationen. Für eine feste Basis b≥2 entsteht die Zahl Cb=0.(1)b(2)b(3)b…
durch die fortlaufende Aneinanderreihung der positiven ganzen Zahlen in Basis b.
Die Normalität von Cb in ihrer jeweiligen Erzeugungsbasis war bereits bekannt. Ziel der Arbeit ist daher nicht, einen neuen Normalitätssatz zu behaupten, sondern die zugrunde liegenden Beweisstrukturen im Detail zu prüfen und vollständig zu rekonstruieren.
Zunächst wird Champernownes ursprünglicher Beweis von 1933 untersucht. Dabei zeigt sich, dass die wesentlichen Schritte zur Behandlung beliebiger Präfixe und zum Übergang von einer gepolsterten Hilfskonstruktion zur eigentlichen Champernowne-Konstante bereits im Original vorhanden sind, wenn auch in stark komprimierter Form.
Anschließend wird der neuere Diskrepanzbeweis von Becher und Graus analysiert. Dabei wird in der publizierten Fassung eine konkrete fehlerhafte Zwischenimplikation bei der Behandlung von Blockvorkommen identifiziert, die über eine Grenze t∣(t+1)
hinweg verlaufen. Die dort verwendete Argumentation behandelt einen vorgeschriebenen Präfix von t+1 so, als müsse derselbe Präfix bereits bei t vorliegen. Dies ist bei Übertragsketten nicht allgemein zulässig.
Das einfache Beispiel 19∣20,B=92
zeigt die Problematik unmittelbar: Der Block 92 entsteht über die Grenze hinweg, obwohl 19 nicht mit 2 beginnt.
Die Arbeit widerlegt damit ausdrücklich nicht den Diskrepanzsatz von Becher und Graus. Die benötigte Abschätzung selbst ist korrekt. Sie wird durch ein neues carry-sicheres Argument ersetzt, das eine Restklassenbedingung für das Ende von t mit einer Intervallbedingung für den Anfang von t+1 kombiniert. Dadurch werden Überträge vollständig berücksichtigt.
Auf dieser Grundlage wird der gesamte obere Diskrepanzbeweis unabhängig und uniform rekonstruiert. Insbesondere wird für Blöcke B der Länge k eine Abschätzung der Form occ(Cb,B,N)=b−kN+Ob(kbn−k)+Ob(kbk)+Ob(kn)
hergeleitet. Daraus folgt erneut der bekannte obere Diskrepanzbound D(Cb,N)=Ob(logN1),
und damit die Normalität der Champernowne-Konkatenation in ihrer Erzeugungsbasis.
Der Beitrag der Arbeit besteht somit nicht in einem neuen Normalitätssatz, sondern in einer präzisen Quellen- und Beweisprüfung, der Identifikation eines carry-sensitiven Fehlerschritts in einem publizierten Beweis sowie einer vollständigen, uniformen und carry-sicheren Rekonstruktion des betreffenden Diskrepanzarguments.
Zur Erarbeitung, Quellenprüfung und mathematischen Kontrolle der Arbeit wurden auch KI-Werkzeuge eingesetzt. Die mathematischen Aussagen und die Verantwortung für die Endfassung liegen beim Autor.
Autor: Dieter Eigler
Typ: Preprint / mathematische wissenschaftliche Arbeit
Veröffentlicht auf: Zenodo
DOI: 10.5281/zenodo.21931575
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