Scale Stability and Rank Drift in Consecutive Prime-Gap Frequencies
An Exploratory Computational Note
Preprint, 2026
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Rangstabilität häufiger Primzahllücken
Lokale Häufigkeitsordnungen über wachsende Zahlenskalen
Diese explorative wissenschaftliche Arbeit untersucht die Häufigkeitsrangfolge von Abständen zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Im Unterschied zur üblichen kumulativen Betrachtung bis zu einer Schranke x werden disjunkte Dekadenschalen getrennt untersucht. Dadurch lässt sich fragen, ob sich die lokale Rangordnung häufiger Primzahllücken mit wachsender Zahlenskala stabilisiert oder weiterhin systematisch verschiebt.
Über die untersuchten Bereiche von 103–104 bis 1010–1011 zeigt sich eine auffällige Mischung aus Stabilität und Drift. Die Primzahllücke 6 bleibt in allen untersuchten Dekadenschalen die häufigste. Ab 107–108 tritt in jeder untersuchten Dekade dieselbe Menge der zehn häufigsten Lücken auf, während sich ihre interne Rangfolge weiterhin verändert.
Für die große Schale 1010–1011, in der 3.663.002.302 aufeinanderfolgende Primzahllücken gezählt wurden, lautet die führende Rangfolge:
6, 12, 18, 10, 2, 4, 30, 24, 8, 14.
Eine zusätzliche Unterteilung dieser Schale in zehn gleich breite Bereiche zeigt, dass die ersten vier Positionen 6, 12, 18 und 10 in allen Teilbereichen unverändert bleiben. Weiter unten im Ranking wechseln dagegen insbesondere die Paare 2/4 und 24/30 noch ihre Reihenfolge.
Zusätzlich werden die Häufigkeiten wichtiger Lücken relativ zur Lücke 6 betrachtet. Dabei zeigt sich, dass Rangstabilität nicht mit vollständiger Häufigkeitsstabilität gleichzusetzen ist: Die Lücken 18, 24 und besonders 30 gewinnen innerhalb des untersuchten Bereichs relativ an Gewicht, während sich die relativen Häufigkeiten von 2 und 4 nur wenig verändern.
Ein weiterer vorsichtig formulierter Befund betrifft die Primzahllücke 2. Sie steht in den kleineren untersuchten Dekadenschalen zunächst auf Rang 2, fällt später auf Rang 3 und 4 und erreicht schließlich Rang 5. Diese endliche Rangentwicklung sagt ausdrücklich nichts über die Zwillingsprimzahlvermutung aus. Sie verdeutlicht jedoch den Unterschied zwischen der relativen Häufigkeit einer Primzahllücke und der ganz anderen Frage, ob die Lücke 2 unendlich oft vorkommt.
Die Arbeit erhebt keinen Anspruch auf einen neuen Satz über Primzahllücken oder auf eine asymptotische Stabilitätsaussage. Die beobachteten Muster werden als endliche numerische Befunde verstanden und in den bekannten theoretischen Rahmen der Hardy-Littlewood-Heuristik und der Forschung zu Jumping Champions eingeordnet.
Zur Reproduzierbarkeit enthält die Arbeit sowohl ein vollständiges Python-/NumPy-Skript als transparente Referenzimplementierung als auch eine kompilierte C++17-/OpenMP-Implementierung für die große Schale. Die Gesamtzählungen werden zusätzlich anhand bekannter Werte der Primzahlzählfunktion kontrolliert.
Autor: Dieter Eigler
Typ: Preprint / explorative wissenschaftliche Arbeit
Veröffentlicht auf: Zenodo
DOI: 10.5281/zenodo.21931024
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