Zwei invariante Paarbilanzen bei Fibonacci-Überträgen
Wie viele unterschiedliche Übertragsmuster kann die Fibonacci-Folge in Basis 32 erzeugen? Und welchen mathematischen Gesetzmäßigkeiten unterliegen diese Muster?
Bei der Addition zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen entsteht an einer bestimmten Zifferngrenze entweder ein Übertrag (Carry = 1) oder kein Übertrag (Carry = 0).
Die Arbeit untersucht solche Überträge in einem besonderen Verfahren: Ausgehend von einer beliebigen Fibonacci-Zeile wird jeweils um eine vollständige Pisano-Periode weitergesprungen. Auf diese Weise entstehen Folgen von 32 Übertragsentscheidungen, die als Binärwörter aus Nullen und Einsen dargestellt werden können.
Dabei werden jeweils zwei aufeinanderfolgende Überträge zu einem Paar zusammengefasst. Es gibt vier mögliche Paare: 00, 01, 10 und 11.
Die Untersuchung weist zwei bemerkenswerte mathematische Gesetzmäßigkeiten nach:
- Delta (δ) beschreibt den Häufigkeitsunterschied zwischen den Paaren 11 und 00. Dieser Unterschied beträgt stets höchstens 2.
- Eta (η) beschreibt den Häufigkeitsunterschied zwischen den Paaren 01 und 10. Sein Betrag beträgt stets höchstens 3.
Besonders bemerkenswert ist, dass beide Größen bei zunehmender Lift-Tiefe unverändert bleiben. Für Eta wird außerdem eine exakte Formel mithilfe von 2-adischen Schrittweiten und Vorzeichen hergeleitet.
Nur 48.336 von über 4,29 Milliarden Möglichkeiten
Eine weitere zentrale Erkenntnis betrifft die vollständigen Übertragsmuster: Obwohl es theoretisch 4.294.967.296 unterschiedliche Binärwörter der Länge 32 gibt, können bei den untersuchten Fibonacci-Periodensprüngen höchstens 48.336 verschiedene Muster auftreten.
Mehr als 99,9988 % aller theoretisch möglichen Binärwörter sind damit ausgeschlossen.
Die Arbeit bestimmt die gemeinsame Verteilung dieser 48.336 Muster nach Delta und Eta in einer vollständigen Kreuztabelle.
Reduktion auf 1.511 Normalformen
Viele der 48.336 Muster unterscheiden sich lediglich durch zyklische Verschiebungen. Beispielsweise kann ein Übertragsmuster an einer anderen Stelle beginnen, obwohl seine zyklische Struktur unverändert bleibt.
Fasst man solche Muster zu Äquivalenzklassen zusammen, bleiben nur 1.511 unterschiedliche Klassen übrig.
Für jede Klasse wird eine eindeutige Normalform definiert: Die längste zusammenhängende Kette gleicher Bits wird an den Anfang gestellt, bei Gleichstand werden Nullen bevorzugt und verbleibende Mehrdeutigkeiten eindeutig aufgelöst.
Eine zweite, deutlich kleinere Kreuztabelle klassifiziert diese 1.511 Normalformen nach Delta und dem Betrag von Eta.
Die Arbeit verbindet damit allgemeine mathematische Invarianzsätze mit einer vollständigen, computerunterstützten Klassifikation der möglichen 32-stelligen Fibonacci-Übertragsmuster. Die exakten Berechnungen sind durch beigefügten Python-Code reproduzierbar.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). Two Invariant Pair Balances in Fibonacci Carry Lifts. Zenodo.