Universelle Doppelbalance der Fibonacci-Überträge in allen Zweierpotenz-Basen
Wie regelmäßig verhalten sich Überträge bei der Addition von Fibonacci-Zahlen? Und gelten solche Gesetzmäßigkeiten nur in einem bestimmten Zahlensystem oder unabhängig von der gewählten Basis?
Diese Arbeit zeigt, dass zwei bemerkenswerte Gleichgewichtsgesetze für sämtliche Zweierpotenz-Basen gelten – also für die Basen 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 und beliebig große weitere Zweierpotenzen.
Dazu werden Fibonacci-Zahlen in regelmäßigen Abständen ihrer Pisano-Perioden betrachtet. Bei jeder Addition wird festgehalten, ob an einer bestimmten Zifferngrenze ein Übertrag auftritt (1) oder nicht (0). So entstehen binäre Übertragswörter, deren Länge der jeweiligen Basis entspricht.
Die Übertragsentscheidungen werden in aufeinanderfolgende Zweierpaare der Typen 00, 01, 10 und 11 eingeteilt. Für deren Häufigkeiten werden zwei Größen definiert:
- Delta (Δ): Unterschied zwischen der Anzahl der Paare 11 und 00.
- Eta (η): Unterschied zwischen der Anzahl der Paare 01 und 10.
Die Arbeit beweist zwei universelle Schranken:
|Δ| ≤ 2 und |η| ≤ 3.
Das Bemerkenswerte daran: Die maximalen absoluten Abweichungen bleiben konstant, obwohl die untersuchten Übertragswörter beliebig lang werden.
Im Oktalsystem umfasst ein solches Wort lediglich 8 Übertragsentscheidungen. Bei Basis 4096 sind es bereits 4096 Entscheidungen. Dennoch bleiben die beiden Ungleichgewichte durch dieselben Konstanten 2 und 3 beschränkt.
Dadurch werden die relativen Abweichungen mit wachsender Basis immer kleiner und nähern sich gleichmäßig null. Es handelt sich nicht um ein statistisches Zufallsphänomen, sondern um eine exakt nachgewiesene Eigenschaft der Fibonacci-Rekursion.
Ein weiterer Schwerpunkt ist das Erreichbarkeitsraster über verschiedene Zahlensysteme. Jede Fibonacci-Indexposition lässt sich einer vollständigen Periodensprunggruppe zuordnen. Außerdem können unterschiedliche Zweierpotenz-Basen dieselbe binäre Zifferngrenze erfassen. Dabei entstehen miteinander verschachtelte Übertragswörter, für die beide Gleichgewichtsgesetze gleichzeitig gelten müssen.
Diese Mehrskalenstruktur erzwingt zusätzliche Einschränkungen der Anordnung der Überträge, die aus der Betrachtung eines einzelnen langen Wortes allein nicht folgen.
Die Ergebnisse erweitern die zuvor für Basis 32 bewiesenen Übertragsgesetze auf eine unendliche Familie von Zahlensystemen. Sie liefern neue Einblicke in die deterministische Struktur der Fibonacci-Folge und ihrer modularen Darstellung.
Eine wichtige Grenze bleibt: Die nachgewiesene Doppelbalance bedeutet nicht, dass die Übertragswörter zufällig verteilt sind oder dass die Fibonacci-Konkatenation normal ist. Die Arbeit unterscheidet ausdrücklich zwischen der Gleichmäßigkeit bestimmter periodischer Abtastungen und der noch offenen Frage der Normalität der Konkatenation.
Publikation:
Eigler, D. (2026). Universal Double Balance in Fibonacci Carry Words Across Power-of-Two Bases. Zenodo.
https://doi.org/10.5281/zenodo.23969850