Was ausgeglichene Ziffernspalten nicht beweisen können
Eine kritische Untersuchung des Normalitätsbeweises von Benfield und Manes
Ist die Zahl, die durch das Aneinanderreihen sämtlicher Fibonacci-Zahlen entsteht, normal? Anders gefragt: Kommen in ihrer unendlichen Ziffernfolge alle möglichen Ziffernblöcke langfristig mit der erwarteten Häufigkeit vor?
Brennan Benfield und Michelle Manes haben einen Beweis der Normalität für Zahlensysteme mit Basen der Form (2^x5^y) beansprucht. Ihr Ansatz beruht unter anderem auf der Periodizität und Gleichverteilung der Ziffern an festen Stellenwertpositionen.
José Ricardo G. Mendonça hat auf eine grundlegende Schwierigkeit dieses Ansatzes hingewiesen: das sogenannte Deep-Bulk-Problem. Die meisten Ziffern der Fibonacci-Konkatenation liegen im tiefen Inneren immer länger werdender Fibonacci-Zahlen. Die Gleichverteilung an jeder einzelnen festen Ziffernposition erlaubt noch keinen Schluss auf die Gleichverteilung sämtlicher Ziffern der Konkatenation.
Die vorliegende Arbeit untersucht diese logische Lücke anhand des tatsächlichen Beweisarguments von Benfield und Manes.
Dazu werden zwei mathematische Gegenmodelle konstruiert. Beide besitzen dieselben Wortlängen wie die Fibonacci-Zahlen und erfüllen entsprechende periodische Gleichverteilungsbedingungen für ihre Ziffernspalten. Dennoch ist die eine Konkatenation normal, die andere nicht.
Damit wird rigoros gezeigt, dass diese periodischen Stellenwertbilanzen allein nicht ausreichen, um Normalität zu beweisen.
Die Gegenmodelle erfüllen allerdings nicht die vollständige Fibonacci-Rekursion. Die Arbeit widerlegt daher weder die mögliche Normalität der tatsächlichen Fibonacci-Konkatenation noch jeden denkbaren Beweis dafür. Sie zeigt vielmehr, weshalb der untersuchte Schluss von der Gleichverteilung einzelner Ziffernspalten auf die Normalität der gesamten Konkatenation nicht hinreichend begründet ist.
Das Ergebnis ist zugleich eine methodische Standortbestimmung: Ein erfolgreicher Normalitätsbeweis muss die Ziffernverteilung im tiefen Inneren der Fibonacci-Zahlen tatsächlich kontrollieren. Die vollständige Gleichverteilung fester Stellenwertspalten genügt dafür nicht.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). What Balanced Digit Columns Cannot Establish: A Proof-Level Audit of the Benfield–Manes Fibonacci Normality Argument. Zenodo.