Ausgangslage: 20 ursprüngliche Paare. Jede Woche werden sieben der gerade zusammenliegenden Paare zufällig getragen. Danach sortiert die Wäscherin die Socken, die nicht getragen wurden: Sie löst die 13 Paare im Schrank auf und legt alle dort vorhandenen ursprünglichen Partner wieder zusammen, soweit beide Socken im Schrank sind. Die 14 getragenen Socken werden einzeln gewaschen und danach zufällig zu sieben Paaren zusammengestellt. Gewaschene Socken werden dabei nicht mit Schrank-Socken vermischt. Nach dem Ziehen bleiben 26 Socken im Schrank. Es gibt nur 20 ursprüngliche Paare. Höchstens 20 der 26 Socken können ihre ursprünglichen Partner außerhalb des Schranks haben: höchstens eine Socke aus jedem ursprünglichen Paar. Also bleiben mindestens 26 − 20 = 6 Socken, deren ursprünglicher Partner ebenfalls unter den 26 Schrank-Socken ist. Diese sechs Socken bilden mindestens sechs vollständige ursprüngliche Paare. Zähle höchstens eine Socke aus jedem der 20 ursprünglichen Paare: Damit sind höchstens 20 Socken erfasst. Die mindestens sechs übrigen Socken sind jeweils die zweite Socke eines bereits vertretenen Paars und vervollständigen jeweils ein anderes Paar. Die Wäscherin findet diese mindestens sechs Paare. Vollständig rot ist unmöglich. Die Differenz 26 − 20 = 6 zählt zusätzliche Socken über eine Socke aus jedem der höchstens 20 ursprünglichen Paare hinaus. Jede zusätzliche Socke vervollständigt ein ursprüngliches Paar. Daher folgen mindestens sechs Paare, nicht drei. Jede Zeile zeigt die 20 festen Schrankplätze nach dem jeweiligen Wochenschritt. Grün bedeutet, dass die beiden Socken ursprüngliche Partner sind; rot bedeutet, dass sie es nicht sind. Beim Sortieren können sich auch Socken treffen, die vor dem Sortieren in zwei verschiedenen Schrankpaaren lagen. Die Plätze 1–20 bleiben fest. Eine Zeile entspricht dem Schrankzustand nach einer Woche, also nach Sortieren der 26 nicht getragenen Socken und zufälligem Neu-Paaren der Wäsche. Der Beispielverlauf ist zufällig und kann bei erneutem Laden anders aussehen. Exakter Durchschnitt über alle Zufallsverläufe. Die grüne Untergrenze entsteht durch das Sortieren; sie ist keine Schwankung um den Mittelwert. Nach dem Sortieren liegen immer mindestens sechs richtige ursprüngliche Paare im Schrank. Daher können die Schwellen „höchstens fünf“, „höchstens vier“, „höchstens drei“, „höchstens zwei“, „höchstens eins“ und „null“ im vollständigen Wochenstand nicht erreicht werden. Die Tabelle der früheren Version enthielt für diese veränderte Regel unzutreffende Erstankunftsschätzungen und wurde entfernt. Die Zahl kann trotzdem schwanken: Beim Waschen können richtige Paare getrennt werden; die Wäscherin fügt unter den 26 im Schrank gebliebenen Socken die dort möglichen ursprünglichen Paare wieder zusammen. Sei m die Zahl der richtigen Paare vor dem Ziehen der sieben Waschpaare. Nach dem Sortieren der 26 Schrank-Socken und dem zufälligen Neu-Paaren der 14 gewaschenen Socken gilt für den Erwartungswert exakt: E[Xn+1 | Xn=m] = 2070/247 + (49/190)m. Bei Start mit 20 richtigen Paaren ergibt sich E[Xn] = 6900/611 + (20 − 6900/611)(49/190)n. Der langfristige Erwartungswert beträgt 6900/611 ≈ 11,29 richtige Paare. In jeder Woche nach dem Sortieren gilt zugleich die feste Untergrenze von drei. Die Wäscherin senkt die Unordnung der 26 Schrank-Socken, weil sie die ursprünglichen Partner erkennt und gezielt zusammenlegt. Die Ordnung entsteht durch Information und einen Sortiervorgang; sie ist keine spontane Folge des Zufalls. Die 14 gewaschenen Socken bleiben dem Zufall überlassen. Das scheinbare Paradox — Ordnung entsteht, obwohl ein Teil der Socken zufällig neu gepaart wird — verschwindet, sobald man die gezielte Sortierregel in das Modell einbezieht. Modellannahmen: Die sieben aktuellen Paare werden gleichverteilt unter den 20 Paarplätzen ausgewählt. Die 14 einzelnen Socken werden gleichverteilt zu sieben Paaren gepaart. Die Wäscherin kennt die ursprünglichen Partner und sortiert ausschließlich die 26 nicht getragenen Socken.Sockenpaare mit Selbstorganisation
Ablauf einer Woche
Beispielverlauf im Zeitverlauf
Erwartete Zahl richtiger Paare
Welche Paarzahlen sind nach dem Sortieren möglich?
Exakter Erwartungswert
Woche Exakt erwartete richtige Paare 0 20,00 1 13,54 2 11,87 3 11,44 4 11,33 6 11,30 12 11,29 langfristig 11,29 Was bedeutet die Selbstorganisation für Entropie?
Socken mit Selbstorganisation
1. Schrank20 aktuelle Paare; richtig oder falsch
2. Sieben Paare ziehen14 Socken kommen in die Wäsche; 26 bleiben im Schrank
3. 13 Schrankpaare sortierenAlle 26 Socken werden gelöst; ursprüngliche Partner werden zusammengelegt, soweit beide da sind
4. Sieben Waschpaare bildenDie 14 einzelnen Socken werden zufällig zu sieben Paaren zusammengelegt
5. Zurückstellen13 sortierte Schrankpaare und sieben neue Waschpaare; nächste Woche beginnt
Warum der Schrank nach dem Sortieren nicht vollständig rot sein kann
ursprüngliche Partner zusammen falsches Paar
Woche0
Richtige ursprüngliche Paare20 von 20
Exakter Erwartungswert20,00