Socken – Vergleich – dietereigler.at



Zwei Socken-Abläufe im Vergleich
Beide Varianten beginnen mit 20 ursprünglichen Paaren. Jede Woche werden sieben aktuelle Paare getragen; die 14 Socken werden einzeln gewaschen und danach zufällig zu sieben Paaren zusammengelegt. Der Unterschied: In Variante 2 sortiert die Wäscherin zusätzlich die 26 nicht getragenen Socken im Schrank und legt alle dort vorhandenen ursprünglichen Partner wieder zusammen.
Variante 1: nur Zufall
Die 13 nicht getragenen Paare bleiben unverändert. Die 14 gewaschenen Socken werden zufällig neu gepaart. Der langfristige Erwartungswert beträgt 20/39 ≈ 0,51 richtige Paare.
Variante 2: Sortieren plus Zufall
Die Wäscherin löst die 13 Schrankpaare auf und sortiert die 26 nicht getragenen Socken nach den ursprünglichen Partnern. Nur die 14 gewaschenen Socken werden zufällig neu gepaart. Der langfristige Erwartungswert beträgt 6900/611 ≈ 11,29.
Warum Variante 2 mindestens sechs richtige Paare hat
Im Schrank liegen 26 Socken, aber es gibt nur 20 ursprüngliche Paare. Zähle zunächst höchstens eine Socke aus jedem ursprünglichen Paar: So kann man höchstens 20 Socken erfassen. Für die 26 Schrank-Socken braucht man mindestens sechs weitere Socken. Jede dieser zusätzlichen Socken ist die zweite Socke eines ursprünglichen Paars, dessen erste Socke schon mitgezählt wurde. Sie vervollständigt also ein ganzes Paar. Daher müssen unter den 26 Schrank-Socken mindestens 26 − 20 = 6 vollständige ursprüngliche Paare sein. Die Wäscherin findet sie beim Sortieren. Variante 2 kann nach dem Sortieren somit nicht vollständig rot sein.
Die sechs ist hier die Zahl der zusätzlichen Socken über die höchstens 20 ersten Socken hinaus. Jede zusätzliche Socke vervollständigt ein anderes ursprüngliches Paar; deshalb sind mindestens sechs Paare richtig, nicht bloß drei.
Minimum, Maximum und Erwartungswert im Zeitverlauf
Die Linien zeigen den exakten Erwartungswert sowie die möglichen Grenzen des Modells. Ein Mittelwert beschreibt viele gedachte Abläufe zusammen; ein einzelner Verlauf kann darüber oder darunter liegen.
Erwartungswert, nur ZufallErwartungswert, mit Sortierengarantierte UntergrenzeMaximum: 20

Woche Variante 1: Minimum Variante 1: Mittel Maximum Variante 2: Minimum / Untergrenze Variante 2: Mittel Maximum

0 20 20,00 20 20 20,00 20
1 13 13,54 20 13 13,54 20
2 6 9,22 20 mind. 6 11,87 20
3 0 6,33 20 mind. 6 11,44 20
4 0 4,40 20 mind. 6 11,33 20
6 0 2,25 20 mind. 6 11,30 20
12 0 0,67 20 mind. 6 11,29 20
langfristig 0 0,51 20 mind. 6 11,29 20

Bei Variante 1 sind die angegebenen Minima in den ersten Wochen erreichbar: 13 nach Woche 1, 6 nach Woche 2 und ab Woche 3 null. Bei Variante 2 ist sechs die allgemeine kombinatorische Untergrenze nach dem Sortieren; die Tabelle kennzeichnet sie deshalb als „mind. 6“. Beide Varianten können mit positiver Wahrscheinlichkeit 20 richtige Paare enthalten.
Formeln der beiden Erwartungswerte
Variante 1: (E[X_n]=20/39+(20-20/39)(127/190)^n); der Fixpunkt ist (20/39≈0,513), nicht null. „Alles rot“ ist ein möglicher Zustand, aber nicht der langfristige Mittelwert.
Variante 2: Für (m) richtige Paare vor einer Woche gilt exakt (E[X_{n+1}mid X_n=m]=2070/247+(49/190)m). Der Fixpunkt ist (6900/611≈11,293).
In beiden Fällen ist das Maximum 20. Die Mindestlinie der zweiten Variante zeigt die Untergrenze, die jeder sortierte Schrankzustand erfüllen muss. „Mindestens sechs“ bedeutet nicht, dass jede einzelne Woche genau sechs Paare hat.
Die Selbstorganisation ist gezielte Ordnung durch Wissen: Die Wäscherin kennt die ursprünglichen Partner. Dieses Wissen und das Sortieren gehören zum Modell. Es handelt sich nicht um spontane Ordnung allein durch Zufall.