Socken – dietereigler.at


      

      Sockenpaare nach dem Waschen: ein Zufallsmodell
      Ausgangslage: 20 ursprüngliche Sockenpaare. Jede Woche werden sieben der gerade zusammenliegenden Paare getragen. Die 14 Socken werden einzeln gewaschen und danach zufällig zu sieben Paaren zusammengelegt. Die übrigen 13 Paare bleiben im Schrank und an ihrem Platz.
      Ablauf einer Woche
      
        🧦1. Schrank20 aktuelle Paare, davon einige ursprünglich richtig
        🧺2. Sieben Paare ziehenSieben der 20 aktuellen Paare zufällig auswählen
        🫧3. Einzeln waschenDie 14 Socken sind nun voneinander getrennt
        🔀4. Neu zusammenlegenAlle 13!! = 135.135 möglichen Paarungen der 14 Socken sind gleich wahrscheinlich
        ↻5. Zurück & Neustart13 Paare bleiben, sieben Plätze erhalten neue Paarungen
      
      Die 20 nummerierten Kästchen sind feste Plätze im Schrank. Nach jeder Wäsche bleiben 13 Plätze unverändert. Nur die sieben ausgewählten Plätze werden mit den neu gebildeten Paaren belegt.

      Beispielverlauf im Zeitverlauf
      Grün bedeutet: Die beiden Socken sind ursprüngliche Partner. Rot bedeutet: Das Paar ist falsch zusammengestellt. Ein Zufallsverlauf kann anders aussehen; beim Laden wird ein einzelner Beispieldurchgang über fünf Wochen gezeigt.
       ursprüngliche Partner zusammen ursprüngliche Partner getrennt
      
        
        
        
        
      
      
        Woche0
        Richtige ursprüngliche Paare20 von 20
        Erwartungswert nach dieser Woche20,00
      
      
      Die Plätze 1–20 bleiben fest. Eine Zeile entspricht einer Woche. Die Farbe bezieht sich immer auf die ursprünglichen Partner, nicht darauf, ob zwei Socken im Vorjahr schon einmal gemeinsam lagen.

      
        Erwartete Zahl richtiger Paare
        Das ist der Durchschnitt über sehr viele denkbare Verläufe, nicht die Vorhersage des einzelnen Beispielverlaufs.
        
      
      Beispiel: höchstens fünf richtige Paare. Im einzelnen Verlauf wird diese Grenze meist nach ungefähr vier Wochen erreicht. Der exakte Erwartungswert liegt nach drei Wochen bei 6,33 und nach vier Wochen bei 4,40. Das sind zwei verschiedene Aussagen: durchschnittliche Anzahl einer Woche versus erster Zeitpunkt, an dem ein einzelner Verlauf höchstens fünf erreicht.
      
        Ein grünes Paar kann bleiben, während ein weiteres entsteht
        Die nächste Skizze zeigt einen möglichen Verlauf nach dem vollständig roten Zustand: In Woche 1 ist ein ursprüngliches Paar wieder zusammen. Wird genau dieses Paar in der nächsten Woche nicht gezogen, bleibt es unverändert im Schrank; gleichzeitig können unter den sieben gewaschenen Paaren weitere ursprüngliche Partner zusammenfinden.
        
          Nach einer Wäsche: ein richtiges Paar
          1234567891011121314151617181920
          Nach der nächsten Wäsche: das erste bleibt, ein zweites kommt hinzu
          1234567891011121314151617181920
        
        Ein bestimmtes grünes Paar wird in der nächsten Woche mit Wahrscheinlichkeit 13/20 = 65 % gar nicht gezogen und bleibt dann sicher richtig. Mit Wahrscheinlichkeit 7/20 wird es mitgewaschen; beim zufälligen Neu-Paaren findet es seinen ursprünglichen Partner mit Wahrscheinlichkeit 1/13 wieder. Seine Gesamtchance, nach der nächsten Wäsche noch richtig zu sein, beträgt daher exakt 13/20 + (7/20)(1/13) = 44/65 ≈ 67,7 %.
        Die Schwellen in der folgenden Tabelle zählen richtige Paare, die gleichzeitig nach einer Wäsche im Schrank liegen. Ein bereits richtiges Paar darf dabei stehen bleiben, kann aber auch wieder auseinandergehen. Es wird also nicht bloß gezählt, wie viele Paare irgendwann einmal kurz richtig waren.
      

      Rückkehr ab vollständig rotem Zustand: Wann sind wieder mindestens k Paare gleichzeitig richtig?
        Die Schätzung startet jeweils beim ersten Erreichen von null richtigen Paaren in einem Ablauf des Modells. Danach wird Woche für Woche die ganze aktuelle Paarung neu ausgewertet. Die Tabelle beruht auf 20.000 unabhängigen simulierten Abläufen; Mittelwerte und Quantile sind Näherungswerte. Da die Zufallsstarts nicht fest vorgegeben sind, kann eine erneute Simulation leicht abweichende Werte liefern.
        Ziel: mindestens k richtige Paare Mittlere Wochen bis zum ersten Erreichen Median 90 %-Quantil

          1 6,34–6,48 (exakte Schranke) 5* 14*
2 25,54 18 56
3 118,82 84 267
4 758 524 1.754
5 6.432 4.436 14.833
        
        Schon in der nächsten Woche nach dem Nullzustand beträgt die exakte Wahrscheinlichkeit für mindestens ein richtiges Paar je nach genauer Anordnung 15,430–15,775 %; in rund 84 % bleibt es also zunächst vollständig rot. Die Simulation schätzt außerdem: Innerhalb von zehn Wochen tauchen mindestens zwei richtige Paare in etwa 30 % und mindestens drei in etwa 6 % der Abläufe wieder gleichzeitig auf. Für vier oder fünf Paare ist das im Zehn-Wochen-Zeitraum selten. Die hohen Mittelwerte entstehen durch lange Verläufe, in denen mehrere richtige Paare nur sehr langsam zusammenkommen. *Median und 90 %-Quantil sind Simulationsschätzungen; die Ein-Paar-Wartezeit ist zusätzlich exakt durch die angegebene Schranke eingegrenzt.
      

      Erstankunftszeiten: Wann sind höchstens k Paare richtig?
        Die Tabelle gibt die mittlere Zahl der Wochen bis zum ersten Erreichen von höchstens k richtigen ursprünglichen Paaren an. Da ein Schritt mehrere Paare verändern kann, wird eine Schwelle „höchstens k“ verwendet. Die Mittelwerte und Quantile sind Monte-Carlo-Schätzungen aus einer Million unabhängiger Simulationsläufe; sie sind keine exakten Werte und können bei einer Wiederholung geringfügig abweichen.
        Höchstens k richtige Paare Mittlere Wochen 50 % erreicht bis 90 % erreicht bis

          18 1,00001 1 1
17 1,00032 1 1
16 1,00242 1 1
15 1,01803 1 1
14 1,10288 1 2
13 1,41686 1 2
12 2,00870 2 2
11 2,04258 2 2
10 2,15543 2 3
9 2,41056 2 3
8 2,78030 3 3
7 3,14990 3 4
6 3,52063 3 4
5 3,97948 4 5
4 4,55328 4 6
3 5,28019 5 7
2 6,27753 6 8
1 7,85900 7 11
0 11,37820 10 17
        
        Beispiel: höchstens fünf richtige Paare sind im Mittel nach 3,98 Wochen erstmals erreicht. In 50 % der Läufe geschieht das spätestens in Woche 4, in 90 % spätestens in Woche 5. Genau 19 richtige Paare sind unmöglich; „höchstens 19“ ist dagegen eine erreichbare Schwelle.
      

      
        Wann tauchen alle 20 ursprünglichen Paare wieder auf?
        Im langfristigen Gleichgewicht ist jede vollständige Paarung der 40 Socken gleich wahrscheinlich. Für die 40 unterscheidbaren Socken gibt es
        39!! = 39 · 37 · 35 · … · 3 · 1 = 319.830.986.772.877.770.815.625
        mögliche Paarungen. Nur eine davon enthält alle 20 ursprünglichen Paare. Die Wahrscheinlichkeit an einem zufälligen Wochenstichtag im Gleichgewicht beträgt daher 1/39!! ≈ 3,13 · 10⁻²⁴. Die mittlere Wiederkehrzeit ist der Kehrwert dieser Wahrscheinlichkeit: rund 3,20 · 10²³ Wochen. Bei 52,18 Wochen pro Jahr sind das etwa 6,1 · 10²¹ Jahre.
        Das ist die mittlere Wiederkehrzeit im langfristigen Gleichgewicht, nicht die exakt berechnete erste Wartezeit ab einem bestimmten vollständig roten Zustand. Vollständige Wiederherstellung ist möglich, aber praktisch unvorstellbar selten.
      

      Exakte Erwartungswert-Formel
        Sei X_n die Zahl der ursprünglichen Paare, die nach n Wäschen wieder zusammenliegen. Dann gilt exakt:
        E[X_n+1] = (127/190) E[X_n] + 42/247, mit E[X₀] = 20.
        Also: E[X_n] = 20/39 + (20 − 20/39)(127/190)ⁿ. Der langfristige Erwartungswert beträgt 20/39 ≈ 0,513 richtige Paare.
      
      Wahrscheinlichkeiten direkt nach der ersten Wäsche
        Vor der ersten Wäsche sind alle 20 Paare richtig. Sieben davon werden gewaschen; die 13 nicht ausgewählten Paare bleiben richtig. Für die sieben gewaschenen Paare ergibt sich:
        Richtige Paare insgesamt Wahrscheinlichkeit nach Woche 1

          13 58,466 %
14 31,287 %
15 8,454 %
16 1,554 %
17 0,207 %
18 0,031 %
19 0 % (unmöglich)
20 0,000740 %
        
        Die Wahrscheinlichkeit für 20 ist 1/135135: Alle sieben neu gebildeten Paare müssten genau den ursprünglichen Partner behalten.
      
      Was bedeutet „man kann die Zahl nicht sicher wissen“?
        Ohne den Schrank anzusehen, kann man nach einer Wäsche die genaue Zahl im Allgemeinen nicht vorhersagen. Man kann aber sichere Grenzen und Unmöglichkeiten angeben: nach der ersten Wäsche bleiben mindestens 13 ursprüngliche Paare richtig; genau 19 richtige Paare sind bei 20 vollständigen Paaren grundsätzlich unmöglich. Die tatsächliche Zahl eines konkreten Schranks ist dennoch eindeutig und kann durch Nachsehen festgestellt werden.
        Auch null richtige ursprüngliche Paare sind erreichbar. Weil im festgelegten Modell jede Paarungsanordnung durch eine Folge möglicher Wäschen erreichbar ist, wird dieser Zustand bei unbegrenzt vielen Wäschen mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwann erreicht. Die Tabelle schätzt die mittlere erste Wartezeit auf rund 11,38 Wochen.
      
      Modellgrenzen: Die Simulation nimmt an, dass sieben aktuelle Paare zufällig ausgewählt werden und dass die 14 gewaschenen Socken unabhängig und gleichverteilt neu gepaart werden. Sockenverlust, zusätzliche Socken oder bewusstes Sortieren sind nicht berücksichtigt.