Diskunktivität

Wählt man eine reelle Zahl zufällig nach der üblichen Gleichverteilung auf dem Einheitsintervall, so ist sie mit Wahrscheinlichkeit 1 normal; insbesondere ist sie dann auch disjunktiv. Das bedeutet: Die Menge der Zahlen, die diese Eigenschaft nicht besitzen, hat Wahrscheinlichkeit 0. Daraus folgt jedoch nicht, dass eine konkret vorgegebene Zahl oder eine speziell definierte Zahlenfolge normal oder disjunktiv ist. Eine bestimmte Zahl kann in der Ausnahmemenge liegen, auch wenn diese Wahrscheinlichkeit 0 hat. Für konkrete Zahlen und Folgen braucht es daher weiterhin einen eigenen Beweis.

Ich sammle gerade Fälle von Disjunktivität versus Nicht-Disjunktivität.

Hier mein aktueller Stand.

Konkatenation	Zahlensystembasis	Ergebnis	Grundlage
a, a², a³, …	Beliebige ganze Basis b ≥ 2	Genau dann disjunktiv, wenn der Logarithmus von a zur Basis b irrational ist. Bei rationalem Logarithmus ist die Konkatenation nicht disjunktiv.	Vollständige Klassifikation in meinem Paper. Der Beweis verwendet die Gleichverteilung der Logarithmen modulo 1.
1ᵃ, 2ᵃ, 3ᵃ, … für festes a ≥ 2	Jede ganze Basis b ≥ 2	Disjunktiv	Folgt aus einem bekannten Kriterium für wachsende ganzzahlige Folgen, deren aufeinanderfolgende Quotienten gegen 1 gehen.
Standardmäßige k-Nacci-Folgen	Jede ganze Basis b ≥ 2	Disjunktiv	Bewiesen mit dem modular-rekursiven Verfahren, unter den Voraussetzungen der Arbeit.
Pell-Folge: 0, 1, 2, 5, 12, …	Jede ganze Basis b ≥ 2	Disjunktiv	Bewiesen mithilfe des dominierenden Wachstumsfaktors und des Benford-Arguments.
Jacobsthal-Folge: 0, 1, 1, 3, 5, 11, …	Jede ganze Basis, die keine Zweierpotenz ist	Disjunktiv	Der Logarithmus des dominierenden Wachstumsfaktors 2 zur Zahlensystembasis ist irrational.
Jacobsthal-Folge	Zweierpotenzbasen: 2, 4, 8, 16, 32, …	Nicht disjunktiv	In Basen ab 4 fehlt die Ziffer 0 vollständig. In Basis 2 kommt das Wort 00 nicht vor.
bⁿ + n für n = 1, 2, 3, …	Die passende Basis b	Disjunktiv, obwohl der Logarithmus von b zur Basis b rational ist	Die Endstellen jedes Folgenglieds enthalten die Basis-b-Darstellung von n.

Konkatenation	Zahlensystembasis	Ergebnis	Grundlage
Lucas-Folge: 2, 1, 3, 4, 7, 11, …	Jede ganze Basis b ≥ 2	Disjunktiv	Der dominante Wachstumsfaktor ist der Goldene Schnitt φ. Sein Logarithmus zur Basis b ist irrational. Daraus folgt die Gleichverteilung der führenden Ziffernblöcke und damit die Disjunktivität.

Konkatenation	Zahlensystembasis	Ergebnis	Grundlage
Pell-Lucas-Folge: 2, 2, 6, 14, 34, 82, …	Jede ganze Basis b ≥ 2	Disjunktiv	Der dominante Wachstumsfaktor ist 1 + √2. Sein Logarithmus zur Basis b ist irrational; dadurch treten alle führenden Ziffernblöcke auf und die Konkatenation ist disjunktiv.

Konkatenation	Zahlensystembasis	Ergebnis	Grundlage
Jacobsthal-Lucas-Folge: 2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, …	Disjunktiv, wenn b keine Zweierpotenz ist; nicht disjunktiv, wenn b = 2ᵏ für ein ganzzahliges k ≥ 1 ist	Die Folge ist genau dann disjunktiv, wenn die Zahlensystembasis keine Zweierpotenz ist.	Bei Nicht-Zweierpotenzen ist der Logarithmus des dominierenden Wachstumsfaktors 2 irrational. In Zweierpotenzbasen fehlen bestimmte Ziffern dauerhaft.

Konkatenation	Zahlensystembasis	Ergebnis	Grundlage
Mersenne-Zahlen: 1, 3, 7, 15, 31, 63, …	Disjunktiv, wenn b keine Zweierpotenz ist; nicht disjunktiv, wenn b = 2ᵏ für ein ganzzahliges k ≥ 1 ist	Genau dann disjunktiv, wenn die Zahlensystembasis keine Zweierpotenz ist.	Bei Nicht-Zweierpotenzen ist der Logarithmus des dominierenden Wachstumsfaktors 2 irrational. In Zweierpotenzbasen sind die Ziffern der Folgenglieder dauerhaft eingeschränkt.

Nicht jede disjunktive Zahl ist auch normal. Ein Beispiel lässt sich konstruieren, indem man für jede Länge n alle Dezimalwörter dieser Länge hintereinander schreibt und danach einen Block aus 100ⁿ Nullen einfügt. Jedes endliche Ziffernwort erscheint in einem der Wörterblöcke und somit in der Zahl; die Zahl ist also disjunktiv. Die immer längeren Nullblöcke überwiegen jedoch die übrigen Ziffern. Daher haben die Ziffern langfristig nicht alle die Häufigkeit ein Zehntel, und die Zahl ist nicht normal.

Anmerkung: Als Vorabtest eignet sich der von mir entwickelte Zn Test sehr gut und hat sich bewährt. Ich verwende in der besonders deutlichen Z32-Form am liebsten.