Wir haben die Disjunktivität der k-Nacci-Konkatenationen bewiesen: Jedes endliche Ziffernwort kommt in ihnen unendlich oft vor. Fragen wir nun, was sich darüber hinaus sagen lässt, stechen drei Aussagen hervor:
- Gemeinsamer Indexfortschritt und fester Anhang: Es gibt eine feste arithmetische Folge von Indizes und einen festen rechten Ziffernanhang, die nicht vom gesuchten Wort abhängen. Jedes endliche Wort kommt in unendlich vielen dieser Folgenglieder unmittelbar vor diesem Anhang vor.
- Positive Häufigkeit unter den Folgengliedern: Für jedes feste Wort der Länge L enthält mindestens ein positiver Anteil der Folgenglieder dieses Wort. Eine bewiesene untere Schranke dafür ist 1 geteilt durch Q mal b hoch L. Dabei ist b die Basis und Q eine von Folge und Basis abhängige feste Zahl.
- Exakte Häufigkeiten an festen Stellen von rechts: Entlang dieses Indexfortschritts erscheinen in vollständigen modularen Fenstern an jeder fest gewählten Stelle von rechts alle Wörter einer festen Länge exakt gleich häufig. Jedes Wort der Länge L hat dort den Anteil 1 geteilt durch b hoch L.
Diese drei Aussagen reichen allein nicht für einen Normalitätsbeweis. Das zeigt eine künstlich veränderte Konkatenation: Vor jede Zahl Uₙ setzen wir eine führende 1 und danach einen sehr langen Nullblock, etwa mit b hoch n² Nullen. Der ursprüngliche Zahlenteil Uₙ bleibt ganz rechts stehen. Deshalb bleiben die Wortvorkommen, der feste Anhang und die Häufigkeiten an jeder fest gewählten Stelle von rechts erhalten; auch die Folgenglieder, die ein Wort enthalten, bleiben dieselben.
Die Konkatenation der so veränderten Glieder ist dennoch nicht normal. Die neu eingefügten Nullblöcke werden so schnell länger, dass an den Enden der Folgenglieder der Anteil der Nullen gegen 1 geht. Eine normale Zahl müsste dagegen jede Ziffer mit Häufigkeit 1 geteilt durch b enthalten. Das Gegenbeispiel ist keine k-Nacci-Konkatenation; es zeigt aber, dass die drei genannten Eigenschaften für sich genommen nicht genügen, um Normalität zu folgern. Dafür müsste man zusätzlich einen wachsenden Anteil der gesamten Ziffernpositionen kontrollieren.
Um der Normalität der k‑Nacci-Konkatenationen näherzukommen, prüfen wir schrittweise, welche unserer bisher gesicherten Erkenntnisse dafür ausreichen könnten. Ausgangspunkt sind die bewiesene Disjunktivität sowie drei weitere Eigenschaften: ein gemeinsamer Indexfortschritt mit festem rechtem Anhang, eine positive Häufigkeit jedes Wortes unter den Folgengliedern und exakte Häufigkeiten an festen Stellen von rechts. Nun ergänzen wir diese Voraussetzungen jeweils um eine weitere Eigenschaft und suchen nach einem Gegenbeispiel: einer disjunktiven Konkatenation, die alle Annahmen erfüllt, aber nachweislich nicht normal ist. Gelingt ein solcher Bau, wissen wir, dass auch die zusätzliche Eigenschaft für sich genommen noch nicht genügt.
Schritt 1: Die Quotienten benachbarter Glieder haben einen Grenzwert
Für eine k‑Nacci-Folge gilt \(U_n\sim C\alpha^n\), wobei \(\alpha>1\) die dominante Wachstumswurzel ist. Daher gilt \(U_{n+1}/U_n\to\alpha\).
Reicht diese zusätzliche Eigenschaft zusammen mit den bisherigen Prämissen für Normalität? Nein. Man kann eine Folge konstruieren, die all diese Eigenschaften erfüllt und deren Konkatenation trotzdem nicht normal ist.
Dazu nehmen wir eine k‑Nacci-Folge \(U_n\) als Ausgangspunkt. Setzen wir \(a=\log_b\alpha\), wählen eine Zahl \(\theta\) mit \(a/b<\theta<a\) und definieren \(s_n=\lfloor\sqrt n\rfloor\), \(r_n=\lfloor\theta n\rfloor\). Aus \(U_n\) behalten wir die letzten \(s_n\) Ziffern. Davor setzen wir einen Block aus \(r_n\) Nullen; die führenden Ziffern wählen wir so, dass die neue Zahl \(V_n\) asymptotisch wie \(C\alpha^n\) wächst. Konkret kann man setzen:\[ V_n= b^{r_n+s_n} \left\lfloor\frac{C\alpha^n}{b^{r_n+s_n}}\right\rfloor +(U_n\bmod b^{s_n}). \]
Dann gilt weiterhin \(V_{n+1}/V_n\to\alpha\), denn der veränderte Ziffernblock ist im Vergleich zu \(C\alpha^n\) asymptotisch klein. Zugleich stimmen für jedes feste \(j\) ab einem gewissen Index die letzten \(j\) Ziffern von \(V_n\) mit denen von \(U_n\) überein. Die Aussagen über feste Stellen von rechts und die Vorkommen der Wörter unmittelbar vor dem festen Anhang bleiben also erhalten. Auch jedes endliche Wort kommt weiterhin vor.
Trotzdem ist die Konkatenation der \(V_n\) nicht einfach normal: Die eingefügten Nullblöcke machen asymptotisch mindestens den Anteil \(\theta/a\) aller Ziffern aus. Da \(\theta/a>1/b\), kommen Nullen häufiger vor als bei einfacher Normalität erlaubt.
Ergebnis dieses Tests: Disjunktivität, die drei bisherigen Wissenspunkte und ein Grenzwert der Quotienten benachbarter Glieder genügen zusammen nicht, um Normalität zu erzwingen. Das Beispiel ist eine künstlich veränderte Folge, keine k‑Nacci-Folge. Es zeigt daher eine Grenze der Annahmen, aber nichts gegen die Normalität der tatsächlichen k‑Nacci-Konkatenation.
Schritt 2: Benford-Verteilung der führenden Ziffern
Als nächste Zusatzannahme prüfen wir, ob das Benford-Verhalten der führenden Ziffern der Folgenglieder zusammen mit den bisherigen Prämissen Normalität erzwingt. Bei k‑Nacci-Folgen verteilen sich die führenden Ziffern asymptotisch nach dem Benford-Gesetz: Die erste Ziffer \(d\) hat Häufigkeit \(\log_b(1+1/d)\).
Auch diese Zusatzannahme reicht nicht aus. Wir können die Konstruktion aus Schritt 1 so abändern, dass sie neben den letzten Ziffern jedes Folgenglieds auch die führenden Ziffern erhält.
Sei \(U_n\) das ursprüngliche k‑Nacci-Glied. Wir behalten seine ersten \(t_n\) und letzten \(s_n\) Ziffern, wobei \(t_n\) und \(s_n\) gegen unendlich wachsen, aber im Vergleich zur Gesamtlänge des Glieds nur einen kleinen Anteil ausmachen. Dazwischen setzen wir einen langen Nullblock. Die führenden Ziffern bleiben damit exakt erhalten; die letzten \(s_n\) Ziffern bleiben ebenfalls unverändert. Für jedes feste Wort werden daher ab einem gewissen Index seine zuvor gesicherten Vorkommen am rechten Rand nicht angetastet. Auch die drei bisherigen Eigenschaften bleiben bestehen.
Wählen wir die eingefügten Nullblöcke so, dass sie einen Anteil größer als \(1/b\) aller Ziffern ausmachen, ist die Konkatenation nicht einfach normal. Das Benford-Verhalten der führenden Ziffern bleibt trotzdem erhalten: Es betrifft nur eine wachsende, aber im Vergleich zur Gesamtlänge verschwindende Zahl von Stellen.
Ergebnis dieses Tests: Selbst die Ergänzung um Benford-Verteilung der führenden Ziffern genügt nicht. Sie kontrolliert den Anfang jedes Folgenglieds, aber nicht dessen tiefen Innenbereich. Das Gegenbeispiel ist wiederum eine künstlich veränderte Folge; es sagt nichts gegen die Normalität der tatsächlichen k‑Nacci-Konkatenation.
Schritt 3: Ziffernentropie der einzelnen Folgenglieder
Als mögliche zusätzliche Annahme betrachten wir die Entropie der Ziffernverteilung in jedem einzelnen Folgenglied. Sei \(p_{n,d}\) der Anteil der Ziffer \(d\) im Glied \(U_n\). Die Entropie ist\[ H(U_n)=-\sum_{d=0}^{b-1}p_{n,d}\log_2 p_{n,d}. \]
Ihr größtmöglicher Wert ist \(\log_2 b\). Für die k‑Nacci-Glieder ist nicht bewiesen, dass ihre Entropie gegen diesen Wert strebt. Wir prüfen hier nur, was aus einer solchen Annahme folgen würde.
Wenn \(H(U_n)\to\log_2 b\), dann nähern sich die Ziffernhäufigkeiten in jedem einzelnen Glied der Gleichverteilung \(1/b\). Da die Längen der Folgenglieder linear wachsen und kein einzelnes Glied einen bleibenden Anteil an der Gesamtlänge hat, würde daraus die einfache Normalität der Konkatenation folgen. Das ist eine bedingte Aussage, kein Beweis für die tatsächliche k‑Nacci-Konkatenation.
Für volle Normalität reicht diese Annahme jedoch nicht. Sie kontrolliert nur einzelne Ziffern, nicht die Häufigkeiten von Ziffernpaaren oder längeren Wörtern. Das zeigt eine Gegenbeispielkonstruktion: Man übernimmt aus jedem k‑Nacci-Glied die ersten und letzten ungefähr \(\sqrt n\) Ziffern und ersetzt die Ziffern dazwischen durch eine periodische Folge, in der alle Ziffern gleich oft vorkommen, etwa \(012\ldots(b-1)012\ldots\). Die übernommenen Randstücke werden gegenüber der Gliedlänge vernachlässigbar klein. Daher strebt die Ziffernentropie jedes so veränderten Glieds gegen \(\log_2 b\); auch die führenden Ziffern, die rechten Ziffernblöcke und der Grenzwert der Quotienten aufeinanderfolgender Glieder bleiben erhalten.
Die Konkatenation dieser veränderten Glieder ist trotzdem nicht normal: Im periodischen Mittelteil kommt das Paar \(00\) nicht vor, und die Randstücke sowie die Übergänge zwischen den Gliedern machen insgesamt nur einen verschwindenden Anteil aus. Die Häufigkeit von \(00\) geht daher gegen null statt gegen \(1/b^2\).
Ergebnis: Die Entropiebedingung ist für die tatsächlichen k‑Nacci-Glieder nicht nachgewiesen. Wäre sie nachgewiesen, würde sie zusammen mit den Wachstumsvoraussetzungen die einfache Normalität der Konkatenation ergeben. Für volle Normalität genügte sie nicht.
Ernüchterung
Das Ergebnis ist ernüchternd: Selbst wenn alle genannten Eigenschaften gleichzeitig gelten, erzwingen sie keine volle Normalität. Eine künstlich veränderte Konkatenation kann sämtliche Voraussetzungen erfüllen und dennoch nachweislich nicht normal sein. Das ist jedoch kein Beweis dafür, dass die k‑Nacci-Konkatenationen nicht normal sind. Es zeigt nur, dass die hier betrachteten Eigenschaften für sich genommen keinen Normalitätsbeweis liefern. Ein Beweis der Normalität mit weiteren oder anderen Argumenten bleibt weiterhin möglich.