Universelle Ziffernfolgen in Fibonacci- und k-Bonacci-Zahlen
Jede beliebige endliche Ziffernfolge kommt vor – in jeder ganzzahligen Basis und in jeder nichttrivialen k-Bonacci-Folge mit nichtnegativen Anfangswerten.
Die Fibonacci-Folge beginnt mit 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Jede neue Zahl entsteht durch Addition der beiden vorhergehenden Zahlen. Bei der Tribonacci-Folge werden jeweils drei, bei der Tetranacci-Folge vier vorhergehende Zahlen addiert. Dieses Prinzip lässt sich auf beliebig viele Vorgänger verallgemeinern.
Was geschieht, wenn wir sämtliche Zahlen einer solchen Folge in einer bestimmten Basis ohne Trennzeichen hintereinanderschreiben?
Die neue Arbeit zeigt, dass in diesen unendlichen Ziffernfolgen jede beliebige endliche Ziffernkombination unendlich oft vorkommt – unabhängig davon, ob wir im Binär-, Dezimal-, Oktal- oder einem anderen ganzzahligen Zahlensystem rechnen.
Das bedeutet beispielsweise: Jede beliebig lange Zahl, jede vorgegebene Ziffernfolge und auch jede Folge von Nullen lässt sich irgendwo innerhalb dieser unendlichen Konkatenationen finden. In der Mathematik bezeichnet man diese Eigenschaft als Disjunktivität.
Zwei voneinander unabhängige Beweise
Die Arbeit enthält zwei unterschiedliche mathematische Beweiswege.
Der erste Beweis verwendet die rekursive Struktur der Zahlenfolgen, modulare Arithmetik und p-adische Methoden. Er zeigt nicht nur, dass beliebige Ziffernblöcke vorkommen, sondern auch, dass sie an festgelegten Ziffernpositionen innerhalb einer geeigneten Folge von Indizes mit exakt bestimmbaren Häufigkeiten realisiert werden können.
Der zweite Beweis knüpft an die Benford-Verteilung und eine Arbeit von Lawrence C. Washington über Fibonacci-Zahlen an. Er nutzt die mathematische Verteilung der führenden Ziffern und erweitert den Ansatz auf beliebig lange Anfangsblöcke sowie allgemeine k-Bonacci-Folgen.
Beide Beweise führen unabhängig voneinander zum selben Ergebnis.
Was ist damit bewiesen – und was bleibt offen?
Die Disjunktivität bedeutet, dass kein endlicher Ziffernblock dauerhaft ausgeschlossen bleibt. Selbst eine noch so ungewöhnliche oder lange vorgegebene Ziffernfolge erscheint unendlich oft.
Das ist allerdings nicht dasselbe wie Normalität.
Eine normale Zahl müsste darüber hinaus jede einzelne Ziffer und jedes endliche Ziffernwort mit der jeweils erwarteten relativen Häufigkeit enthalten. Dass alle möglichen Ziffernfolgen vorkommen, beweist noch nicht, dass sie gleichmäßig verteilt sind.
Gerade diese Unterscheidung macht die Arbeit für die weiterführende Erforschung von Fibonacci-Konkatenationen interessant: Die universelle Existenz beliebiger Ziffernblöcke ist nun bewiesen. Die Frage ihrer asymptotischen Gleichverteilung bleibt eine eigenständige mathematische Herausforderung.
Veröffentlichung
Eigler, D. (2026). Universal Modular Realization of Digit Blocks in k-Bonacci Sequences. Zenodo.