Von Milliarden Möglichkeiten zu sieben arithmetischen Grundtypen – Cassini und die Fibonacci-Überträge
Wie kann es sein, dass aus Milliarden theoretisch möglichen Übertragsmustern nur wenige mathematische Grundstrukturen übrig bleiben?
Bei der Addition aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen in Basis 32 entstehen an den einzelnen Zifferngrenzen Überträge (Carries). Ein Übertrag wird mit 1, ein ausbleibender Übertrag mit 0 bezeichnet.
Untersucht man diese Überträge in Abständen einer vollständigen Pisano-Periode, entstehen Folgen aus 32 Nullen und Einsen. Obwohl es theoretisch mehr als 4,29 Milliarden solcher Binärwörter gibt, sind bei den betrachteten Fibonacci-Periodensprüngen nur 48.336 verschiedene Muster möglich.
Die vorliegende Arbeit untersucht, warum diese Muster so starken arithmetischen Einschränkungen unterliegen und wie sich ihre Vielfalt durch mathematische Symmetrien auf wenige Grundtypen zurückführen lässt.
Die Cassini-Identität als Ausgangspunkt
Eine zentrale Rolle spielt die klassische Cassini-Identität der Fibonacci-Zahlen. Sie führt zu einer modularen Bedingung für die Schrittweiten, mit denen sich die Ziffern bei jedem Periodensprung verändern.
Diese Bedingung lässt zunächst 96 mögliche Schrittvektoren zu. Die besondere Struktur der Fibonacci-Rekursion schränkt ihre Anzahl jedoch auf genau 48 ein.
Die Arbeit zeigt außerdem einen bemerkenswerten Zusammenhang: Jedes Cassini-zulässige Übertragswort ist entweder selbst Fibonacci-zulässig oder entsteht durch die Vertauschung sämtlicher Nullen und Einsen eines Fibonacci-zulässigen Wortes.
48.336 Wörter – aber nur 796 Spiegelklassen
Viele der zulässigen Übertragsmuster unterscheiden sich lediglich durch ihren Anfangspunkt. Werden solche zyklischen Verschiebungen als gleichwertig betrachtet, verbleiben 1.511 Klassen.
Eine zusätzliche Symmetrie erlaubt es, die Reihenfolge der Bits umzukehren und gleichzeitig Nullen und Einsen zu vertauschen.
Unter Berücksichtigung beider Symmetrien reduzieren sich die ursprünglich 48.336 Wörter auf nur noch 796 verschiedene Spiegelklassen.
Sieben arithmetische Grundtypen
Die 48 Fibonacci-Schrittvektoren lassen sich anhand ihrer Teilbarkeitseigenschaften in zwei Familien einordnen. Durch weitere algebraische Transformationen ergibt sich eine noch stärkere Vereinfachung:
- Familie A umfasst 24 Schrittvektoren und lässt sich auf fünf arithmetische Grundtypen zurückführen.
- Familie B umfasst ebenfalls 24 Schrittvektoren, benötigt jedoch nur zwei Grundtypen.
Damit genügen insgesamt sieben arithmetische Grundtypen, um die Struktur der 48 Fibonacci-Schrittvektoren zu organisieren.
Besonders interessant sind die Überschneidungen zwischen diesen Typen. Die Untersuchung zeigt, dass sie sich auf nur zwei grundlegende Schnittmengenprobleme zurückführen lassen. In beiden Fällen entstehen exakt 96 gemeinsame Übertragswörter.
Verbotene Muster und weitere Gesetzmäßigkeiten
Die Arbeit untersucht außerdem, welche kürzeren Folgen aus Nullen und Einsen überhaupt innerhalb der Fibonacci-Übertragswörter auftreten können.
Bis zur Blocklänge neun sind sämtliche binären Muster möglich. Ab Länge zehn treten erstmals verbotene Muster auf.
Eine vollständige Enumeration bestimmt die minimal verbotenen Faktoren bis zur Länge 32 und unterscheidet zwischen Einschränkungen, die bereits aus der Cassini-Bedingung folgen, und zusätzlichen Einschränkungen durch die Fibonacci-Rekursion.
Eine weitere Untersuchung zeigt, dass sich die beiden Grundtypen der Familie B trotz identischer Delta-Eta-Verteilungen anhand der Häufigkeiten zyklischer Siebenerblöcke vollständig unterscheiden lassen.
Mathematische Beweise statt statistischer Vermutungen
Die Ergebnisse beruhen auf algebraischen Herleitungen und vollständigen endlichen Enumerationen. Die angegebenen Zahlen sind daher keine Stichprobenergebnisse oder statistischen Schätzungen, sondern exakt bewiesene Klassifikationen. Die Berechnungen sind durch beigefügte Prüfprogramme reproduzierbar.
Die Arbeit verdeutlicht, wie eine zunächst außerordentlich große Vielfalt möglicher Übertragsfolgen durch die arithmetische Struktur der Fibonacci-Zahlen und durch Symmetriegesetze auf wenige Grundtypen zurückgeführt werden kann.
Sie schließt damit eine Reihe von Untersuchungen zur Struktur der Fibonacci-Überträge in Basis 32 ab und schafft zugleich eine Grundlage für weiterführende Untersuchungen über Zusammenhänge zwischen Überträgen und Ziffernverteilungen.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). Cassini Constraints and Symmetry Reductions in Fibonacci Carry Lifts. Zenodo.