Eine überraschende Gesetzmäßigkeit bei Überträgen in der Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge entsteht durch eine einfache Regel: Jede Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger. Doch hinter dieser einfachen Rekursion verbergen sich bemerkenswerte mathematische Strukturen.
Die vorliegende Arbeit untersucht, wie sich Überträge (Carries) bei der Addition aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen in der Basis 32 verhalten.
Der Ausgangspunkt ist eine besondere Eigenschaft der Fibonacci-Folge: Betrachtet man ihre Zahlen nach einer bestimmten Anzahl von Schritten, der sogenannten Pisano-Periode, so wiederholen sich die unteren Ziffern ihrer Basis-32-Darstellung. Die nächsthöheren Ziffern können sich dagegen verändern.
Diese Eigenschaft ermöglicht eine systematische Untersuchung von 32 Fibonacci-Additionen, deren Indizes jeweils um genau eine solche Periode auseinanderliegen.
Das zentrale Ergebnis ist überraschend einfach:
Unabhängig davon, wie weit links die untersuchte Ziffernposition liegt und bei welcher Fibonacci-Zahl wir beginnen, entstehen bei diesen 32 Additionen immer mindestens 14 und höchstens 18 Überträge an der betrachteten Zifferngrenze.
Für drei der sechs möglichen Indexklassen lässt sich die Aussage sogar verschärfen: Beginnt die Untersuchung bei einem Fibonacci-Index, der bei Division durch 6 den Rest 0, 4 oder 5 besitzt, treten mindestens 15 und höchstens 17 Überträge auf.
Der Beweis beruht auf einer rekursiv-dynamischen Methode. Mithilfe von Matrixrechnungen, modularer Arithmetik und Teilbarkeitseigenschaften der Fibonacci-Zahlen wird gezeigt, dass sich das scheinbar unbegrenzte Problem auf nur sechs mathematisch beschreibbare Fälle reduzieren lässt.
Damit wird die Gesetzmäßigkeit nicht bloß für einige berechnete Beispiele bestätigt, sondern für sämtliche Zifferntiefen und alle Ausgangsindizes allgemein bewiesen.
Ein Python-Prüfprogramm ermöglicht es, die verwendeten endlichen Kontrollrechnungen unabhängig nachzuvollziehen.
Die Arbeit liefert somit einen eigenständigen zahlentheoretischen Satz: Obwohl die Fibonacci-Zahlen immer größer werden und die untersuchten Perioden rasch anwachsen, bleiben die möglichen Carry-Anzahlen innerhalb der beschriebenen 32er-Gruppen dauerhaft auf einen erstaunlich engen Bereich beschränkt.
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). A Uniform 14–18 Carry Bound in Fibonacci Digit Lifts. Zenodo.