Kann die Gleichheit zweier reeller Zahlen wahr sein, ohne dass sie innerhalb eines mathematischen Axiomensystems bewiesen werden kann?
Diese Arbeit untersucht eine überraschende Verbindung zwischen der Gleichheit berechenbarer reeller Zahlen und Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz.
Ausgehend von der Binärdarstellung der irrationalen Zahl √2 − 1 werden zwei reelle Zahlen konstruiert, deren Ziffern davon abhängen, ob in der Peano-Arithmetik (PA) beziehungsweise in der Mengenlehre ZFC ein formaler Widerspruchsbeweis gefunden werden kann.
Die Konstruktion führt zu einem bemerkenswerten Ergebnis: Innerhalb von ZFC lässt sich die Gleichheit der beiden Zahlen mit der Konsistenz von ZFC verknüpfen. Ist ZFC konsistent, so sind die beiden Zahlen tatsächlich gleich. Ihre Gleichheit lässt sich dann aber innerhalb von ZFC nicht beweisen.
Damit wird Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz anhand eines konkreten mathematischen Objekts anschaulich: Zwei wohldefinierte, berechenbare Zahlen können identisch sein, obwohl das betrachtete Axiomensystem diese Identität nicht nachweisen kann.
Die Arbeit unterscheidet dabei sorgfältig zwischen mathematischer Wahrheit, formaler Beweisbarkeit und den Anforderungen an eine vollständige maschinelle Formalisierung.
Über die mathematische Konstruktion hinaus stellt sich eine grundlegende philosophische Frage:
Was konstituiert Wahrheit, wenn sie nicht konstatiert werden kann?
Veröffentlichung:
Eigler, D. (2026). Equality of Real Numbers as a Consistency Statement. Zenodo.