Zwei vorläufige Tests für i.i.d.-ähnliche Ziffernstrukturen
2026
Wie ähnlich verhalten sich die Ziffern mathematischer Konstanten zu einer Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsziffern?
Das Paper stellt zwei einfach nachvollziehbare statistische Vorabtests vor:
- den (Z_n)-Test, der untersucht, wie viele Ziffern innerhalb eines Blocks die höchste Häufigkeit teilen;
- die Shannon-Blockentropie, die die gesamte Häufigkeitsstruktur eines Blocks zusammenfasst.
Für den (Z_n)-Test wird eine exakte theoretische i.i.d.-Referenzverteilung hergeleitet. Die charakteristischen Höcker dieser Verteilung entstehen aus der Kombinatorik möglicher Belegungsmuster. Ergänzend werden die theoretischen Grenzwerte der Blockentropie für verschiedene Alphabet- und Blockgrößen bestimmt.
Die Ergebnisse zeigen eine wichtige Asymmetrie: Das Scheitern eines Tests weist auf eine nicht i.i.d.-ähnliche lokale Struktur auf der untersuchten Skala hin, sagt aber allein noch nichts gegen Normalität aus. Dies zeigt besonders deutlich die Champernowne-Konkatenation, die normal ist, auf endlichen Skalen jedoch beide Tests deutlich verfehlt. Umgekehrt ist die Übereinstimmung mit der (Z_n)-Referenzverteilung und die Konvergenz der Blockentropie ein stärkerer Hinweis auf i.i.d.-ähnliches lokales Verhalten, als es die bloßen Häufigkeiten einzelner Ziffern sein können. Ein Beweis für Unabhängigkeit, Zufälligkeit oder Normalität ist damit jedoch nicht erbracht.
Das Paper enthält ein ausführliches, frei verwendbares Python-Skript. Jede Leserin und jeder Leser kann damit die Berechnungen selbst nachvollziehen, Soll- und Ist-Verteilungen vergleichen und eigene Folgen untersuchen — etwa √2, die Khinchin-Konstante oder andere mathematische Konstanten. Die Ergebnisse werden sowohl als CSV-Dateien als auch unmittelbar in logarithmischen Grafiken ausgegeben.
Autor: Dieter Eigler
Art: Wissenschaftliches Paper
Veröffentlichung: Zenodo, 2026
Zitation:
Eigler, D. (2026). Two Preliminary Pre-Tests for i.i.d.-Like Digit Structure. Zenodo.
https://doi.org/10.5281/zenodo.22304874
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