Horizontale S-Seite
Obere und untere Reihe blau, mittlere Reihe rot.
S-Seiten des Zauberwürfels
Streifenmuster auf einem legal erreichbaren 3×3×3-Zauberwürfel: Welche Muster sind möglich, und wie häufig treten eine bis sechs solcher Seiten auf?
1. Definition
Eine S-Seite besteht aus zwei äußeren, gleichfarbigen Streifen und einem andersfarbigen Mittelstreifen. Die Farbe des Mittelstreifens ist stets die feste Mittelfarbe dieser Seite; die äußeren Streifen tragen gemeinsam eine andere Farbe. Beide Streifenrichtungen sind erlaubt.
Vertikale S-Seite
Linke und rechte Spalte blau, mittlere Spalte rot.
Die gezeigten Farbbeispiele sind schematisch. Jedes konkrete Muster kann jedoch auf mindestens einem legal erreichbaren Würfel auftreten.
2. Einzelmuster
Für eine festgelegte Würfelseite gibt es fünf mögliche äußere Streifenfarben und zwei Richtungen: insgesamt 10 unterschiedliche S-Muster. Alle zehn sind legal realisierbar.
| Lage der Streifenfarbe | Legale Gesamtstellungen je Einzelmuster |
|---|---|
| Benachbart zur Mittelfarbe | 4.334.215.495.680 |
| Gegenüberliegend zur Mittelfarbe | 5.778.953.994.240 |
Die Zahlen gelten für eine feste Seite, eine feste Streifenrichtung und eine fest gewählte Außenfarbe. Eine Außenfarbe ist zur Mittelfarbe entweder benachbart (vier Möglichkeiten) oder gegenüberliegend (eine Möglichkeit).
3. Wie viele S-Seiten kann ein Würfel haben?
Genau fünf S-Seiten
384
Alle sechs S-Seiten
12
Einzelmuster je Seite
10
Auch fünf und sechs S-Seiten zugleich sind möglich, aber extrem selten. Bei jeder festgelegten Auswahl von fünf Seiten gibt es 76 legale Stellungen, die diese fünf Bedingungen erfüllen; davon besitzen zwölf auch auf der sechsten Seite ein S-Muster. Daher gibt es 6 × (76 − 12) = 384 Würfelstellungen mit genau fünf S-Seiten.
| Genau so viele S-Seiten | Legale Würfelstellungen |
|---|---|
| 0 | 43.251.725.904.990.872.292 |
| 1 | 277.349.210.216.736 |
| 2 | 20.284.809.636 |
| 3 | 3.942.240 |
| 4 | 14.700 |
| 5 | 384 |
| 6 | 12 |
Summe aller sieben Zeilen: 43.252.003.274.489.856.000 legal erreichbare 3×3×3-Würfelstellungen. Die Mittelfarben sind fest; räumliche Drehungen werden nicht als identische Rotationsklassen zusammengefasst.
4. Welche Seiten liegen nebeneinander?
Die 64 möglichen Auswahlen aus sechs Würfelseiten gehören zu zehn geometrischen Typen. Anders als bei X- und K-Seiten spielt außerdem die Richtung der Streifen eine Rolle; sie wurde bei der Auszählung vollständig mitberücksichtigt.
Geometrische Häufigkeiten
„Genau“ bedeutet: Diese Seiten und keine anderen sind S-Seiten. „Mindestens“ bedeutet: Diese Seiten sind S-Seiten, weitere sind erlaubt. Zahlen gelten pro festgelegter Auswahl, nicht für sämtliche Auswahlen desselben Typs.
| Seiten | Geometrischer Typ | Anzahl Auswahlen | Genau | Mindestens |
|---|---|---|---|---|
| 0 | Keine S-Seite | 1 | 43.251.725.904.990.872.292 | 43.252.003.274.489.856.000 |
| 1 | Eine Seite | 6 | 46.224.868.369.456 | 46.231.631.953.920 |
| 2 | Zwei benachbarte Seiten | 12 | 444.998.620 | 445.685.760 |
| 2 | Zwei gegenüberliegende Seiten | 3 | 4.981.608.732 | 4.982.833.152 |
| 3 | Drei an einer Ecke | 8 | 37.080 | 37.920 |
| 3 | Gegenüberpaar und dritte Seite | 12 | 303.800 | 308.480 |
| 4 | Ein Gegenüberpaar | 12 | 212 | 352 |
| 4 | Zwei Gegenüberpaare | 3 | 4.052 | 4.192 |
| 5 | Fünf Seiten | 6 | 64 | 76 |
| 6 | Alle sechs Seiten | 1 | 12 | 12 |
Interaktive Auswahl
Wähle, wie viele S-Seiten du untersuchen möchtest. Die dazu möglichen räumlichen Anordnungen werden direkt darunter angezeigt.
5. Wie wird gezählt?
Statt rund 43 Trillionen Würfelstellungen einzeln durchzuprobieren, werden für jede der 64 Auswahlen von Würfelseiten zunächst die Streifenfarben und beide möglichen Streifenrichtungen erfasst. Anschließend werden zulässige Belegungen der acht Ecksteine und zwölf Kantensteine gezählt, einschließlich aller Orientierungs- und Permutationsparitätsbedingungen. Durch Inklusion und Exklusion wird aus „mindestens diese S-Seiten“ die Anzahl mit „genau diesen S-Seiten“ berechnet.
Wissenschaftlicher Prüfstand: Die vollständige Auszählung wurde mit einem C++-Programm durchgeführt und durch Summen-, Symmetrie- und Spezialfallprüfungen kontrolliert. Offen sind eine zweite, unabhängig implementierte Gesamtzählung aller 64 Seitenmengen sowie eine gesondert überprüfte Liste der zwölf legalen sechsfach-S-Würfel. Diese offenen Punkte werden nicht als erledigt dargestellt. Eine externe Fachbegutachtung liegt nicht vor.
Quellcode und vollständige Auswertung herunterladen
Das Rechenarchiv enthält den C++-Zählcode, die 64 Seitenmengen, die exakten Teilmengenwerte und die frühere Spezialroutine für die seltenen Fälle. Es enthält noch keine unabhängige zweite Gesamtzählung und keine verifizierte Zwölf-Zeugen-Liste.