O-Seiten des Zauberwürfels

1. Was ist eine O-Seite?

Bei einem gewöhnlichen 3×3×3-Zauberwürfel ist eine O-Seite im weiteren Sinne eine Seite, deren acht Außenfelder dieselbe Farbe tragen. Die Mittelfarbe spielt dabei keine Rolle. Eine O-Seite im engeren Sinne hat ebenfalls acht gleichfarbige Außenfelder, aber das Mittelfeld trägt ausdrücklich eine andere Farbe.

Die Diagramme zeigen einzelne Seiten, nicht vollständige Würfelstellungen. Gezählt werden ausschließlich legal erreichbare Gesamtstellungen mit festen Mittelfarben.

Für eine festgelegte Mitte gibt es sechs mögliche gemeinsame Außenfarben, davon fünf verschiedene von der Mittelfarbe. Die vollständige Cubie-Zählung bestätigt, dass jedes dieser Einzelmuster als Seite einer legalen Würfelstellung vorkommen kann.

2. Ein Satz ohne Computer: Fünf erzwingen sechs

Satz: Wenn fünf Seiten eines 3×3×3-Zauberwürfels O-Seiten sind, ist auch die sechste eine O-Seite. Das gilt sowohl für die allgemeine als auch für die strenge Definition.

Beweis für allgemeine O-Seiten

Auf den beweglichen Steinen kommt jede der sechs Farben genau achtmal vor: vier Eck- und vier Kantenaufkleber. Eine O-Seite enthält alle acht Aufkleber ihrer Außenfarbe. Zwei O-Seiten können daher nicht dieselbe Außenfarbe haben. Fünf O-Seiten verbrauchen somit sämtliche beweglichen Aufkleber von fünf verschiedenen Farben. Die acht übrigen Aufkleber müssen auf der letzten Seite liegen und haben alle die sechste Farbe. Also ist auch diese Seite eine O-Seite.

Warum gilt das auch streng?

Nach dem ersten Beweis sind alle sechs Seiten allgemein O-Seiten. Bei einem Würfel mit sechs solchen Seiten müssen die Außenfarben gegenüberliegender Seiten selbst gegenüberliegende Originalfarben sein: Die beiden Seiten belegen zusammen sämtliche acht Eckpositionen; ihre Eckstein-Farbmengen sind disjunkt, was nur für ein Paar gegenüberliegender Farben möglich ist. Wenn die sechste Seite ihre eigene Mittelfarbe hätte, müsste daher auch die gegenüberliegende Seite ihre eigene Mittelfarbe tragen. Sie wäre dann ebenfalls nicht streng – im Widerspruch zu den fünf vorausgesetzten strengen Seiten.

Folgerung: Genau fünf O-Seiten sind unmöglich, sechs dagegen möglich.

3. Wie häufig sind O-Seiten?

Vollständige Häufigkeitstabelle

Beide Spalten summieren sich exakt auf 43.252.003.274.489.856.000 legal erreichbare Würfelstellungen. Die Werte stammen aus vollständigen reduzierten Ganzzahlzählungen, nicht aus Stichproben.

Interaktiver Größenvergleich

Wähle die Definition. Die Balken verwenden eine logarithmische Skala, damit auch die seltenen Fälle sichtbar bleiben. Balkenlängen entsprechen nicht den Verhältnissen der tatsächlichen Anzahlen. Auf schmalen Bildschirmen stehen die exakten Zahlen unter den Balken, damit keine Ziffer abgeschnitten wird. Die Klasse 0 wird bewusst ausgelassen.

4. Eine, zwei und drei O-Seiten: Was ist möglich?

Eine O-Seite: Jede der sechs Seiten kann die einzige O-Seite sein. Streng gibt es insgesamt 28.893.476.426.784 solche Würfelstellungen; allgemein 34.672.100.138.784.

Zwei O-Seiten: Sie können benachbart oder gegenüberliegend sein. Benachbarte O-Seiten müssen auch benachbarte Originalfarben als Außenfarben zeigen, da ihr gemeinsamer Kantenstein beide Farben besitzen muss. Gegenüberliegende O-Seiten müssen gegenüberliegende Außenfarben tragen. Für ein festes Paar mit genau zwei strengen O-Seiten existieren 14.078.460 Stellungen (benachbart) beziehungsweise 159.213.672 (gegenüberliegend).

Drei O-Seiten: Entweder treffen alle drei an einer Ecke zusammen, oder zwei davon liegen gegenüber. Im Eckfall müssen die drei Außenfarben ein zulässiges Originaleck-Farbentripel bilden. Bei genau diesen drei strengen O-Seiten ergeben sich 1.276 beziehungsweise 9.616 Stellungen je festgelegter Auswahl.

Vier Seiten: Möglich, aber extrem selten. Fünf: unmöglich. Sechs: genau zwölf allgemeine, davon acht strenge Würfelstellungen.

5. Die zehn geometrischen Klassen

Die Grafiken zeigen ausschließlich die Lage der gewählten Seiten am Würfel. Sie sind keine konkreten Farbbelegungen eines legalen O-Würfels. Türkis bedeutet „ausgewählte O-Seite“, Grau eine nicht ausgewählte sichtbare Seite und Gelb eine verdeckte ausgewählte Gegenseite.

Bei sechs Seiten gibt es 64 Teilmengen, aber nur zehn geometrische Grundtypen. Die Zeichnungen oben veranschaulichen die wichtigsten Fälle mit zwei und drei O-Seiten. Die folgenden Werte gelten jeweils für genau die genannten O-Seiten, keine zusätzlichen. „Je Auswahl“ heißt: pro konkret gewählter Gruppe von Würfelseiten.

Alle geometrischen Typen außer genau fünf sind tatsächlich realisierbar.

6. Wie wurden die Zahlen berechnet?

Statt alle über 43 Trillionen erreichbaren Würfelstellungen zu durchlaufen, werden Original-Eck- und -Kantensteine durch endliche kombinatorische Zuordnungen gezählt. Jede vorgegebene O-Seite verlangt eine festgelegte gemeinsame Außenfarbe. Berücksichtigt werden dabei die Summe der Eckorientierungen modulo 3, die Summe der Kantenorientierungen modulo 2 und die Übereinstimmung der Permutationsparitäten. Für jede der 64 Seitenmengen wird zunächst „mindestens diese Seiten“ gezählt. Inklusion und Exklusion ergibt daraus „genau diese Seiten“.

Eine zweite interne, anders aufgebaute Zählroutine reproduziert alle 64 Teilmengen beider Definitionen. Für die zwölf vollständigen O-Würfel liegen zusätzlich ausdrücklich konstruierte, programmatisch auf Legalität überprüfte Stellungen vor.

Vollständige Rechendaten und Python-Programme herunterladen (ZIP)

Enthalten: beide Zählprogramme, CSV-Tabellen aller 64 Teilmengen, die zwölf vollständigen O-Stellungen und ein Prüfprogramm. Die Datei gehört bereits zum WordPress-Plugin; kein zusätzliches Hochladen erforderlich.

7. Wissenschaftlicher Prüfstand

Die Zählwerte wurden mit zwei unterschiedlichen internen Rechenverfahren überprüft; die zwölf Fälle mit sechs allgemeinen O-Seiten sind gesondert durch konkrete Zeugenstellungen kontrolliert. Der Satz „Fünf erzwingen sechs“ besitzt außerdem einen elementaren kombinatorischen Beweis. Die Berechnungen beziehen sich auf legale Würfelstellungen mit festen Mittelfarben, ohne Identifizierung durch räumliche Drehungen.

Diese Kontrollen ersetzen keine unabhängige externe Begutachtung und keine formale Maschinenverifikation. Die Programme teilen grundlegende Cubie-Konventionen und können deshalb gemeinsame Modellierungsannahmen enthalten. Die Seite stellt die Ergebnisse verständlich dar; ein gesondertes wissenschaftliches Paper ist nicht vorgesehen.