Wähle zuerst das Zahlensystem
Eine Basis bestimmt, wie viele verschiedene Ziffern ein Zahlensystem verwendet. Im Dezimalsystem (Basis 10) gibt es die Ziffern 0 bis 9. In Basis 8 gibt es 0 bis 7. In Basis 32 verwenden wir 0–9 und A–V: A steht für 10, B für 11, …, V für 31. Die Zahl 10 bedeutet in jeder Basis genau den Wert der Basis: 10₈ = 8, 10₃₂ = 32.
Unsere beiden mathematischen Aussagen gelten für alle Basen 2m mit m ≥ 1. Für den Film wählen wir eine der folgenden Basen. Auch 2 und 4 sind möglich; ihre Schranken gelten bereits wegen der kurzen Wortlängen. Ab Basis 8 zeigen sie besondere Fibonacci-Arithmetik.
0–9, A–V stehen genau 32 Symbole bereit. Für größere Basen müsste der Film ein anderes Alphabet oder mehrstellige Ziffernsymbole festlegen. Beispielsweise gibt es für Basis 64 die bekannte Base64-Zeichentabelle, sie ist aber eine Kodierung mit anderer Symbolfolge und keine einheitliche Stellenwert-Konvention für ganze Zahlen. Die mathematischen Sätze enden nicht bei Basis 32.Von Fibonacci-Zahlen zu den Übertragspaaren
Meine Übertrags-Dupel
Immer zwei aufeinanderfolgende Periodensprung-Beobachtungen bilden ein Paar.
Wir sortieren die Zweierpaare
Neue Fibonacci-Zeile und Spalte berechnen
Die modularen Fibonacci-Reste werden exakt berechnet – selbst wenn die ganze Fibonacci-Zahl zu groß zum Ausschreiben ist.
Bisherige Versuche in dieser Sitzung
Was lernen wir daraus?
Die Fibonacci-Zahlen sind deterministisch. Wir messen nicht zufällige Ereignisse: Jeder Übertrag wird durch die Addition zweier Fibonacci-Zahlen eindeutig festgelegt. Trotz der komplexen Muster gelten zwei genaue Gesetze für jedes vollständige periodisch abgetastete Übertragswort.
32
16
16
Delta · gleiche Paare
Auch die Anzahl der Einsen weicht dadurch um höchstens 2 von der halben Wortlänge ab.
Eta · entgegengesetzte Paare
Die beiden Wechselrichtungen 01 und 10 bleiben stets um höchstens 3 auseinander.
Wie stark ist das relativ zur Wortlänge?
Die absoluten Grenzen 2 und 3 sind unabhängig von der Basis. Mit zunehmender Basis wird ihr Verhältnis zur Wortlänge beliebig klein.
Sigma – warum ist Eta genau ausrechenbar?
Die Vorzeichen σ und die Schrittgrößen g entstehen aus der Fibonacci-Arithmetik. Sie sind keine Zufallsannahmen.
Die Treppchen – Delta- und Eta-Verteilungen
Die Diagramme untersuchen für die ausgewählte Basis und untere Zifferntiefe alle Startklassen einer Periode, wenn die Berechnung klein genug ist, andernfalls eine klar gekennzeichnete Stichprobe. Keine Balkenhöhe wird erfunden.
Delta-Treppchen
Eta-Treppchen
Besonderheit der Basis 32: vollständige Wortklassifikation
Spezialresultat für Basis 32 · nicht auf andere Basen übertragenFür das Basis-32-Modell wurden bei stabiler Lift-Tiefe 48.336 verschiedene zulässige Wörter der Länge 32 und 1.511 zyklische Klassen ermittelt. Unter 2³² theoretischen Binärwörtern sind das nur rund 0,001126 %. Die folgenden Matrizen sind historische, exakt ausgezählte Ergebnisse dieser speziellen Basis.
Carry-Wörter
Rotationsklassen
Bits je Wort
Rotationsklassen nach Δ und |η|
Diese Basis-32-Klassifikation ist kein automatisch bewiesenes Ergebnis für Basis 2, 4, 8 oder 16.
Zwei verschiedene Entwicklungen
A · Dasselbe Wort wiederholen
Die Werte summieren sich bei jeder Wiederholung desselben periodischen Wortes linear.
B · Höhere vollständige Lift-Gruppen
Für Basen ab 8 gilt echte Tiefeninvarianz.
| Stufe | Wiederholte Paare | Delta A | Eta A | Lift-Wortlänge B | Delta B | Eta B |
|---|
A und B untersuchen unterschiedliche Vorgänge: feste Grenze und Wiederholung gegenüber höherer Grenze und neuer vollständiger Lift-Gruppe. Bei Basis 2 und 4 ist B nicht als Tiefeninvarianz-Satz verfügbar.
Drei asymptotische Folgerungen – gleichzeitig in jeder Basis 2ᵐ
- Unbegrenzt lange Wörter: b = 2ᵐ → ∞, also wächst die Anzahl untersuchter Übertragsentscheidungen ohne obere Grenze.
- Gleichbleibend kleine absolute Fehler: |Δ| ≤ 2 und |η| ≤ 3, unabhängig von Startindex und Zifferntiefe.
- Verschwindende relative Fehler: |Δ|/b ≤ 2/b → 0 und |η|/b ≤ 3/b → 0, sogar gleichmäßig über alle Startindizes und unteren Tiefen.
Das bedeutet keine Normalität. Die zwei Gleichgewichte allein garantieren nicht, dass alle vier Paararten gleich häufig werden. Und die bei verschiedenen Basen untersuchten Wörter sind keine aufeinanderfolgenden Anfangsstücke einer einzigen festen Folge.
Das Mehrskalen-Erreichbarkeitsraster
Jeder Fibonacci-Index gehört bei jeder fest gewählten zulässigen Zifferngrenze zu genau einer vollständigen periodisch abgetasteten Gruppe. Mehrere Basen können dieselbe binäre Zifferngrenze erfassen. Dort bilden kürzere Periodensprungwörter exakt ausgewählte Teilfolgen eines längeren Wortes. Beide Ungleichgewichtsgesetze gelten auch für diese kürzeren Wörter. Das ist stärker als die bloße Doppelbalance des langen Wortes.
Aber: Diese Abdeckung betrifft modulare Carry-Positionen, nicht automatisch die sichtbaren Ziffernstellen der Fibonacci-Konkatenation; nötigenfalls werden führende Nullen mitgedacht.
Noch eine Basis ausprobieren?
Willst du dasselbe auch noch in einer anderen Basis rechnen? Wähle oben eine andere Zweierpotenz-Basis. Deine bisherigen Versuche bleiben in dieser Sitzung im Archiv stehen.